2006-湖南卷理-02 单-无穷递减等比数列的和与极限

本题导读

本题考查特殊抽象递推关系数列通项的求解以及无穷等比级数的求和极限。核心是通过赋值法将抽象的递推式转化为等比数列模型，再利用极限求和公式进行计算。

📌【题干】

Question

（2006年湖南卷(理)） 若数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_1=\frac{1}{3}$，且对任意正整数 $m,n$ 都有 $a_{m+n}=a_m\cdot a_n$，则 ${\lim }_{n\to +\infty }(a_1+a_2+\cdots +a_n)=$()

A. $\frac{1}{2}$　　　　　　　B. $\frac{2}{3}$　　　　　　　C. $\frac{3}{2}$　　　　　　　D. 2

🔍【思路分析】

破题导航

利用赋值法，令递推式中的 $n=1$，得到 $a_{m+1}=a_1\cdot a_m$，从而判定 $\{a_n\}$ 是等比数列并确定其公比。 写出该等比数列的前 $n$ 项和 $S_n$ 表达式。 利用无穷递减等比数列求和公式或极限运算法则求出 $n\to +\infty$ 时的极限值。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

在已知递推关系 $a_{m+n}=a_m\cdot a_n$ 中，令 $n=1$，则有： $a_{m+1}=a_1\cdot a_m(m\in {\mathbf{Z}}^{\ast })$

因为 $a_1=\frac{1}{3}$，代入上式得： $\frac{a_{m+1}}{a_m}=\frac{1}{3}$

这表明数列 $\{a_n\}$ 是一个以 $a_1=\frac{1}{3}$ 为首项， $q=\frac{1}{3}$ 为公比的等比数列。 其通项公式为： $a_n=a_1\cdot q^{n-1}={\left(\frac{1}{3}\right)}^n$

设该数列的前 $n$ 项和为 $S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$，由等比数列求和公式得： $S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{\frac{1}{3}\left[1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^n\right]}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1}{2}\left[1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^n\right]$

求当 $n\to +\infty$ 时的极限值： 因为 ${\lim }_{n\to +\infty }{\left(\frac{1}{3}\right)}^n=0$，所以： ${\lim }_{n\to +\infty }{S}_n={\lim }_{n\to +\infty }\frac{1}{2}\left[1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^n\right]=\frac{1}{2}\times (1-0)=\frac{1}{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：抽象递推关系式向等比数列的转化；无穷级数极限求和公式 $S=\frac{a_1}{1-q}$。
• 核心方法：特殊值赋值法、极限求和法。
• 避坑指南：注意无穷递减等比级数求和公式的适用前提为 $|q|<1$。公比和首项在此类递推关系中通常相等，计算时需看清分母结构为 $1-q$，避免因公式混淆导致运算符号颠倒。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查函数方程思想在数列中应用的经典题。递推式 $a_{m+n}=a_m\cdot a_n$ 具有指数函数 $f(x+y)=f(x)f(y)$ 的代数离散特征，取材于人教A版选择性必修第二册第四章《数列》中关于等比数列定义的创新拓展练习。 结论推广: 对于满足 $a_{m+n}=a_m\cdot a_n$ 且 $0<a_1<1$ 的数列，其必为以 $a_1$ 为首项、 $a_1$ 为公比的无穷递减等比数列。其前 $n$ 项和的无穷极限公式可概括为： ${\lim }_{n\to +\infty }{S}_n=\frac{a_1}{1-a_1}$。本题代入 $a_1=\frac{1}{3}$，直接计算可得 $\frac{1/3}{1-1/3}=\frac{1}{2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略
• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2008-上海卷文-14 单-无穷等比数列求和
• 2007-湖北卷理-05 单-二项式定理在极限中应用