2006-湖南文-21 解-椭圆抛物线公共弦

本题导读

本题考查椭圆与抛物线的公共弦。核心在于联立方程求公共弦。

📌【题干】

Question

（2006年湖南卷(文)） 已知椭圆 $C_1:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，抛物线 $C_2:(y-m{)}^2=2px$（$p>0$），且 $C_1$、$C_2$ 的公共弦 $AB$ 过椭圆 $C_1$ 的右焦点．

(1) 当 $AB\perp x$ 轴时，求 $m$、$p$ 的值，并判断抛物线 $C_2$ 的焦点是否在直线 $AB$ 上；

(2) 若 $p=\frac{4}{3}$ 且抛物线 $C_2$ 的焦点在直线 $AB$ 上，求 $m$ 的值及直线 $AB$ 的方程.

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1) $AB\perp x$ 轴且过右焦点 $(1,0)$，故 $AB:x=1$。椭圆上 $(1,\pm \frac{3}{2})$，代入 $(y-m{)}^2=2p$：${\left(\frac{3}{2}-m\right)}^2={\left(-\frac{3}{2}-m\right)}^2\Rightarrow m=0$，$p=\frac{1}{2}\cdot \frac{9}{4}=\frac{9}{8}$。
2. 抛物线焦点 $\left(\frac{p}{2},0\right)=\left(\frac{9}{16},0\right)\ne (1,0)$，不在 $AB$ 上。
3. (2) $p=\frac{4}{3}$，抛物线 $(y-m{)}^2=\frac{8}{3}x$，焦点 $\left(\frac{2}{3},m\right)$。设 $AB:y=k(x-1)$（$k\ne 0$）。
4. 公共点 $(x,y)$ 同时满足两曲线方程。由直线 $x=1+\frac{y}{k}$： 椭圆：$3{\left(1+\frac{y}{k}\right)}^2+4y^2=12\Rightarrow \left(\frac{3}{k^2}+4\right)y^2+\frac{6}{k}y-9=0$，得 $y_1+y_2=-\frac{6k}{3+4k^2}$，$y_1{y}_2=-\frac{9k^2}{3+4k^2}$。 抛物线：$(y-m{)}^2=\frac{8}{3}\left(1+\frac{y}{k}\right)\Rightarrow y^2-\left(2m+\frac{8}{3k}\right)y+m^2-\frac{8}{3}=0$，得 $y_1+y_2=2m+\frac{8}{3k}$，$y_1{y}_2=m^2-\frac{8}{3}$。
5. 韦达相等：$-\frac{9k^2}{3+4k^2}=m^2-\frac{8}{3}$ ①；$-\frac{6k}{3+4k^2}=2m+\frac{8}{3k}$ ②。
6. 由 ② 整理得 $6mk+8<0$（因 $-18k^2<0$），即 $mk<0$，$m$、$k$ 异号。联立 ①② 解得 $m^2=\frac{2}{3}$、$k^2=6$。
7. $m=\pm \frac{\sqrt{6}}{3}$，对应 $k=\mp \sqrt{6}$，$AB:y=-\sqrt{6}(x-1)$ 或 $y=\sqrt{6}(x-1)$。

✅【答案】

Success

(1) $m=0$，$p=\frac{9}{8}$，焦点 $\left(\frac{9}{16},0\right)$ 不在直线 $AB$ 上

(2) $m=\pm \frac{\sqrt{6}}{3}$；$m=\frac{\sqrt{6}}{3}$ 时 $AB:y=-\sqrt{6}(x-1)$，$m=-\frac{\sqrt{6}}{3}$ 时 $AB:y=\sqrt{6}(x-1)$

✍【详细解析】

Abstract

（1）右焦点为 $(1,0)$，$AB\perp x$ 轴时直线 $AB:x=1$． 椭圆与直线 $x=1$ 的交点：$\frac{1}{4}+\frac{y^2}{3}=1\Rightarrow y^2=\frac{9}{4}$，即 $\left(1,\pm \frac{3}{2}\right)$． 两交点都在抛物线上：${\left(\pm \frac{3}{2}-m\right)}^2=2p$．由 ${\left(\frac{3}{2}-m\right)}^2={\left(-\frac{3}{2}-m\right)}^2$ 展开得 $-3m=3m$，故 $m=0$； 代入得 $\frac{9}{4}=2p$，$p=\frac{9}{8}$． 此时抛物线 $C_2:y^2=\frac{9}{2}x$ 的焦点为 $\left(\frac{p}{2},0\right)=\left(\frac{9}{16},0\right)$，而直线 $AB:x=1$，$\frac{9}{16}\ne 1$，故抛物线焦点不在直线 $AB$ 上．

（2）$p=\frac{4}{3}$ 时抛物线为 $(y-m{)}^2=\frac{8}{3}x$，其焦点为 $F_2\left(\frac{2}{3},m\right)$． 由焦点在 $AB$ 上且 $AB$ 过 $(1,0)$，设直线 $AB:y=k(x-1)$（$k\ne 0$），即 $x=1+\frac{y}{k}$． 设公共点 $A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$，则它们的纵坐标同时满足下面两式． 代入椭圆：$3{\left(1+\frac{y}{k}\right)}^2+4y^2=12$，整理得 $\left(\frac{3}{k^2}+4\right)y^2+\frac{6}{k}y-9=0,$ 故 $y_1+y_2=-\frac{6k}{3+4k^2}$，$y_1{y}_2=-\frac{9k^2}{3+4k^2}$． 代入抛物线：$(y-m{)}^2=\frac{8}{3}\left(1+\frac{y}{k}\right)$，整理得 $y^2-\left(2m+\frac{8}{3k}\right)y+m^2-\frac{8}{3}=0,$ 故 $y_1+y_2=2m+\frac{8}{3k}$，$y_1{y}_2=m^2-\frac{8}{3}$． 由韦达定理相等： $-\frac{9k^2}{3+4k^2}=m^2-\frac{8}{3}\text{(1)},-\frac{6k}{3+4k^2}=2m+\frac{8}{3k}\text{(2)}.$ 由 ② 两边乘 $(3+4k^2)$ 并整理：$-6k=2m(3+4k^2)+\frac{8}{3k}(3+4k^2)$，两边再乘 $3k$： $-18k^2=(6mk+8)(3+4k^2).$ 因 $3+4k^2>0$、$-18k^2<0$，故 $6mk+8<0$，即 $mk<-\frac{4}{3}<0$，$m$ 与 $k$ 异号． 结合 $mk<0$，联立 ①②（记 $u=m^2$，$s=k^2$）消元解得 $m^2=\frac{2}{3},k^2=6.$ （代入验证：① 左 $=-\frac{54}{27}=-2$，右 $=\frac{2}{3}-\frac{8}{3}=-2$ ✓；② 左 $=\frac{6\sqrt{6}}{27}=\frac{2\sqrt{6}}{9}$，右 $=\frac{2\sqrt{6}}{3}-\frac{4\sqrt{6}}{9}=\frac{2\sqrt{6}}{9}$ ✓．） 结合 $mk<0$：$m=\frac{\sqrt{6}}{3}$ 时 $k=-\sqrt{6}$；$m=-\frac{\sqrt{6}}{3}$ 时 $k=\sqrt{6}$． 所以 $m=\pm \frac{\sqrt{6}}{3}$；直线 $AB$ 的方程为 $m=\frac{\sqrt{6}}{3}\text{时}AB:y=-\sqrt{6}(x-1);m=-\frac{\sqrt{6}}{3}\text{时}AB:y=\sqrt{6}(x-1).$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆抛物线公共弦

核心方法：公共弦过右焦点 $(1,0)$；(1) $AB\perp x$ 轴得 $m=0,p=\frac{9}{8}$，焦点 $(\frac{9}{16},0)$ 不在 $AB$ 上；(2) $p=\frac{4}{3}$ 设 $AB:y=k(x-1)$ 联立消元解 $m=\pm \frac{\sqrt{6}}{3}$

避坑指南：公共弦端点同时满足两曲线方程；$AB\perp x$ 轴时直接代 $x=1$；一般情况联立消 $x$ 用 $y$ 与 $m$ 的关系

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 椭圆与抛物线公共弦，圆锥曲线综合

结论推广: 公共点同满足两方程；过焦点设直线联立消元

方法推广: 公共弦问题：两曲线方程联立，弦过定点反求参数

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2008-北京文-19 解-椭圆直线直角最大斜边
• 2008-大纲Ⅱ文-22 解-椭圆直线交点与面积最值
• 2008-四川文-22 解-椭圆准线与向量最值
• 2008-上海卷文-06 填-抛物线焦点定参