2006-湖南文-18 解-正四棱锥对顶异面角

本题导读

本题考查正四棱锥。核心在于平移法求异面直线所成角。

📌【题干】

Question

（2006年湖南卷(文)） 如图，已知两个正四棱锥 $P-ABCD$ 与 $Q-ABCD$ 的高都是 $2$，$AB=4$．

(1) 证明：$PQ\perp$ 平面 $ABCD$；

(2) 求异面直线 $AQ$ 与 $PB$ 所成的角；

(3) 求点 $P$ 到平面 $QAD$ 的距离.

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1) 设底面中心 $O$，两正四棱锥的高都过 $O$ 且垂直底面，$P,O,Q$ 共线，故 $PQ\perp$ 平面 $ABCD$。
2. (2) $OP=OQ=2$，$OA=OC=2\sqrt{2}$，对角线互相平分，$PAQC$ 为平行四边形，$AQ\parallel PC$，异面角化为 $\angle BPC$。
3. $PB=PC=\sqrt{P{O}^2+O{B}^2}=\sqrt{4+8}=2\sqrt{3}$，$BC=4$，余弦定理 $\cos \angle BPC=\frac{1}{3}$。
4. (3) 以 $O$ 为原点建系（底面两边方向为 $x,y$ 轴，$OP$ 为 $z$ 轴），求平面 $QAD$ 的法向量，用点面距公式。

✅【答案】

Success

(1) 证明见解析

(2) $\arccos \frac{1}{3}$

(3) $2\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）设正方形 $ABCD$ 的中心为 $O$．两个正四棱锥的高都垂直于底面且过中心 $O$，故 $P,O,Q$ 三点共线，且 $PO\perp$ 平面 $ABCD$，$QO\perp$ 平面 $ABCD$，$PO=QO=2$． 所以 $PQ\perp$ 平面 $ABCD$．

（2）由 $PO=QO=2$ 知 $O$ 为 $PQ$ 中点；又 $OA=OC=2\sqrt{2}$，即 $PQ$ 与 $AC$ 互相平分，故四边形 $PAQC$ 为平行四边形，$AQ\parallel PC$． 于是异面直线 $AQ$ 与 $PB$ 所成的角即 $\angle BPC$（或其补角）． $PB=\sqrt{P{O}^2+O{B}^2}=\sqrt{4+8}=2\sqrt{3}$，同理 $PC=2\sqrt{3}$，$BC=4$． 由余弦定理： $\cos \angle BPC=\frac{P{B}^2+P{C}^2-B{C}^2}{2\cdot PB\cdot PC}=\frac{12+12-16}{24}=\frac{1}{3}.$ 所以异面直线 $AQ$ 与 $PB$ 所成的角为 $\arccos \frac{1}{3}$．

（3）以 $O$ 为原点，底面正方形的两边 $AB$、$AD$ 所在直线方向为 $x$ 轴、$y$ 轴（$A(2,2,0)$，$B(-2,2,0)$，$C(-2,-2,0)$，$D(2,-2,0)$），$OP$ 方向为 $z$ 轴，则 $P(0,0,2),Q(0,0,-2).$ 平面 $QAD$ 过 $Q(0,0,-2)$，$A(2,2,0)$，$D(2,-2,0)$， $\overrightarrow{QA}=(2,2,2),\overrightarrow{QD}=(2,-2,2),$ 法向量 $\mathbf{n}=\overrightarrow{QA}\times \overrightarrow{QD}=(8,0,-8)$，取 $\mathbf{n}=(1,0,-1)$， 平面 $QAD$ 的方程为 $x-z=2$（代 $Q$：$0-(-2)=2$ ✓，代 $A$：$2-0=2$ ✓）． 点 $P(0,0,2)$ 到平面 $QAD$ 的距离 $d=\frac{|0-2-2|}{|\mathbf{n}|}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}.$ 所以点 $P$ 到平面 $QAD$ 的距离为 $2\sqrt{2}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正四棱锥对顶异面角

核心方法：对称性证 $PQ\perp$ 底面；平行四边形 $PAQC$ 得 $AQ\parallel PC$，$\cos \angle BPC=\frac{1}{3}$；等体积法求 $P$ 到平面 $QAD$ 距离 $2\sqrt{2}$

避坑指南：两个正四棱锥共底面对顶，$P,O,Q$ 共线且 $OP=OQ=2$；异面角化相交角，距离用等体积

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 正四棱锥对顶拼合，立体几何综合

结论推广: 对称性证垂直，平行四边形化异面角，等体积求距离

方法推广: 对顶双锥：公共底面中心在对角线上，向量/几何双路

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.04 立体几何高阶：定理、模型与性质
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2008-湖南文-18 解-四棱锥垂直与二面角
• 2008-天津文-19 解-四棱锥垂直与二面角
• 2008-安徽文-19 解-四棱锥角与距离
• 2008-山东文-19 解-四棱锥面面垂直与体积