2006-湖南文-17 解-煤矿安检独立重复概率

本题导读

本题考查独立重复试验。核心在于独立重复试验与二项分布。

📌【题干】

Question

（2006年湖南卷(文)） 某安全生产监督部门对 $5$ 家小型煤矿进行安全检查（简称安检）．若安检不合格，则必须整改．若整改后经复查仍不合格，则强制关闭．设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是 $0.5$，整改后安检合格的概率是 $0.8$，计算（结果精确到 $0.01$）：

(1) 恰好有两家煤矿必须整改的概率；

(2) 某煤矿不被关闭的概率；

(3) 至少关闭一家煤矿的概率.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 每家煤矿”必须整改” ⟺ 初检不合格，概率 $1-0.5=0.5$；5 家独立，(1) 为二项分布 $B(5,0.5)$ 中 $k=2$。
2. (2) 某煤矿不被关闭 ⟺ 初检合格，或初检不合格但整改后合格：$0.5+0.5\times 0.8=0.9$。
3. (3) 用对立事件：至少关闭一家 $=1-5$ 家全部不被关闭 $=1-0.9^5$。

✅【答案】

Success

(1) $0.31$

(2) $0.90$

(3) $0.41$

✍【详细解析】

Abstract

（1）每家煤矿必须整改的概率为 $1-0.5=0.5$，且各煤矿相互独立． 设必须整改的煤矿数为 $X$，则 $X\sim B(5,0.5)$， $P(X=2)=C_5^2(0.5{)}^2(0.5{)}^3=10\times \frac{1}{32}=\frac{10}{32}\approx \mathrm{0.31.}$

（2）某煤矿不被关闭 ⟺ 初检合格，或初检不合格但整改后合格，概率为 $0.5+0.5\times 0.8=0.5+0.4=\mathrm{0.9.}$

（3）“至少关闭一家”的对立事件是”5 家全部不被关闭”，各煤矿独立，故 $P=1-(0.9{)}^5\approx 1-0.59=\mathrm{0.41.}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：煤矿安检独立重复概率

核心方法：(1) $C_5^2(0.5{)}^2(0.5{)}^3=0.31$；(2) 不被关闭 $=0.5+0.5\times 0.8=0.90$；(3) $1-(0.9{)}^5\approx 0.41$

避坑指南：“必须整改”概率 $=1-0.5=0.5$；“不被关闭”含一次合格与整改后合格两种；对立事件求(3)

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 独立重复试验与对立事件，概率综合

结论推广: $P(\text{至少一})=1-P(\text{全不})$

方法推广: 每家煤矿独立，“必须整改”与”不被关闭”分开建模

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.04 二项分布与超几何分布
• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

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