2006-湖南文-16 解-三角化简求角

本题导读

本题考查三角恒等变换。核心在于诱导公式与三角恒等变换。

📌【题干】

Question

（2006年湖南卷(文)） 已知 $\sqrt{3}\sin \theta -\frac{\sin \left(\frac{\pi }{2}-2\theta \right)}{\cos (\pi +\theta )}\cdot \cos \theta =1$，$\theta \in (0,\pi )$，求 $\theta$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 诱导公式：$\sin \left(\frac{\pi }{2}-2\theta \right)=\cos 2\theta$，$\cos (\pi +\theta )=-\cos \theta$。
2. 原式化简：$\sqrt{3}\sin \theta -\frac{\cos 2\theta }{-\cos \theta }\cdot \cos \theta =\sqrt{3}\sin \theta +\cos 2\theta =1$。
3. $\cos 2\theta =1-2{\sin }^2\theta$ 代入：$\sqrt{3}\sin \theta +1-2{\sin }^2\theta =1$，即 $\sin \theta (2\sin \theta -\sqrt{3})=0$。
4. $\theta \in (0,\pi )$ 时 $\sin \theta \ne 0$，故 $\sin \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\theta =\frac{\pi }{3}$ 或 $\frac{2\pi }{3}$。

✅【答案】

Success

$\theta =\frac{\pi }{3}$ 或 $\theta =\frac{2\pi }{3}$

✍【详细解析】

Abstract

由诱导公式 $\sin \left(\frac{\pi }{2}-2\theta \right)=\cos 2\theta$，$\cos (\pi +\theta )=-\cos \theta$，原式化为 $\sqrt{3}\sin \theta -\frac{\cos 2\theta }{-\cos \theta }\cdot \cos \theta =1,$ 即 $\sqrt{3}\sin \theta +\cos 2\theta =1.$ 由二倍角公式 $\cos 2\theta =1-2{\sin }^2\theta$，得 $\sqrt{3}\sin \theta +1-2{\sin }^2\theta =1⟺2{\sin }^2\theta -\sqrt{3}\sin \theta =0⟺\sin \theta (2\sin \theta -\sqrt{3})=0.$ 解得 $\sin \theta =0$ 或 $\sin \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}$． 因 $\theta \in (0,\pi )$，$\sin \theta =0$ 舍去；由 $\sin \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}$ 得 $\theta =\frac{\pi }{3}\text{或}\theta =\frac{2\pi }{3}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角化简求角

核心方法：分子 $\sin (\frac{\pi }{2}-2\theta )=\cos 2\theta$、分母 $\cos (\pi +\theta )=-\cos \theta$，化简得 $\sin \theta (2\sin \theta -\sqrt{3})=0$，$\theta =\frac{\pi }{3}$ 或 $\frac{2\pi }{3}$

避坑指南：诱导公式：$\cos (\pi +\theta )=-\cos \theta$ 别漏负号；$\sin \theta =0$ 在 $(0,\pi )$ 内无解要舍

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 三角化简求角，诱导公式与二倍角

结论推广: $\sqrt{3}\sin \theta +\cos 2\theta =1\Rightarrow \sin \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}$

方法推广: 诱导公式先化简分子分母，因式分解求角并舍根

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式
• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2008-浙江文-02 单-三角化简求周期
• 2008-湖南文-17 解-三角化简给值求值
• 2008-安徽文-17 解-三角化简值域
• 2008-江西文-06 单-三角化简周期奇偶