2006-湖南文-14 填-三棱柱中点连线平行

本题导读

本题考查三棱柱，以及线面平行。

📌【题干】

Question

（2006年湖南卷(文)） 过三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 的任意两条棱的中点作直线，其中与平面 $AB{B}_1{A}_1$ 平行的直线共有　　　　条.

🔍【思路分析】

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1. 三棱柱 9 条棱中，与平面 $AB{B}_1{A}_1$ 平行的棱：$AC$、$BC$、$A_1{C}_1$、$B_1{C}_1$，共 4 条。
2. 这 4 条棱的中点连线：同一棱的中点只有 1 个，故连线必连接不同棱上的两中点。
3. 两个中点分别在与平面平行的棱上时，连线必平行于该平面（中点连线方向在平行棱方向张成的面内）。
4. $C_4^2=6$ 条。

✅【答案】

Success

$6$

✍【详细解析】

Abstract

三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 共 9 条棱，其中与平面 $AB{B}_1{A}_1$ 平行的棱为 $AC$、$BC$、$A_1{C}_1$、$B_1{C}_1$，共 $4$ 条． 取这 $4$ 条棱的中点，过任意两个中点作直线，因两中点所在棱都与平面 $AB{B}_1{A}_1$ 平行，两中点连线也平行于该平面（连线可由两平行棱方向线性表出，且在平面外）． 这样的直线有 $C_4^2=6$ 条． （若两中点中有其一在与平面相交的棱上，连线必与平面相交，不合题意．） 故共有 $6$ 条．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三棱柱中点连线平行

核心方法：与平面 $AB{B}_1{A}_1$ 平行的 4 条棱（$AC,BC,A_1{C}_1,B_1{C}_1$）的中点两两连线共 $C_4^2=6$ 条

避坑指南：过两条棱中点的直线平行该平面 ⟺ 两中点各在一条平行棱上（或同棱不行）；$C_4^2=6$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 三棱柱中点连线与线面平行，立体几何计数

结论推广: 平行棱中点两两连线 $C_4^2=6$

方法推广: 列举与给定平面平行的棱，再组合计数

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2008-江苏卷-16 解-线面平行垂直
• 2008-浙江文-20 解-线面平行二面角
• 2008-新课标Ⅰ文-18 解-三视图体积线面平行
• 2008-湖北文-18 解-直三棱柱垂直与角