2006-湖南文-11 填-等比数列求和

本题导读

本题考查等比数列，以及前 n 项和。

📌【题干】

Question

（2006年湖南卷(文)） 若数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n$，$n=1,2,3,\cdots$，则 $a_1+a_2+\cdots +a_n=$　　　　.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $a_{n+1}=2a_n$ 知 $\{a_n\}$ 是公比 $q=2$ 的等比数列，$a_1=1$。
2. $S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{2^n-1}{1}=2^n-1$。

✅【答案】

Success

$2^n-1$

✍【详细解析】

Abstract

由 $a_{n+1}=2a_n$ 知数列 $\{a_n\}$ 是首项 $a_1=1$、公比 $q=2$ 的等比数列． 由等比数列前 $n$ 项和公式： $S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{1\cdot (2^n-1)}{2-1}=2^n-1.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列求和

核心方法：等比 $q=2$：$S_n=a_1\frac{2^n-1}{2-1}=2^n-1$

避坑指南：先求 $q=a_{n+1}/a_n=2$，再套 $S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 等比数列求和，数列基础

结论推广: $S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}$

方法推广: 先定 $q$ 再求和；$q=1$ 要单独讨论

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2008-新课标Ⅰ文-08 单-等比数列求和比
• 2009-浙江卷文-11 填-等比数列求和比
• 2009-新课标Ⅰ文-15 填-等比数列求和
• 2010-浙江卷文-05 单-等比数列求和比