2006-湖南文-08 单-正弦型对称性与周期

本题导读

本题考查正弦函数图象，以及对称性。

📌【题干】

Question

（2006年湖南卷(文)） 设点 $P$ 是函数 $f(x)=\sin \omega x$ 的图象 $C$ 的一个对称中心，若点 $P$ 到图象 $C$ 的对称轴上的距离的最小值是 $\frac{\pi }{4}$，则 $f(x)$ 的最小正周期是()

A. $2\pi$　　　　　　　　B. $\pi$　　　　　　　　C. $\frac{\pi }{2}$　　　　　　　　D. $\frac{\pi }{4}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 正弦曲线的对称中心（零点）与对称轴（过峰谷）交替排列。
2. 相邻的对称中心与对称轴的水平距离为 $\frac{T}{4}$。
3. 由题意 $\frac{T}{4}=\frac{\pi }{4}$，得 $T=\pi$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

函数 $f(x)=\sin \omega x$ 的图象中，对称中心是其零点 $\left(\frac{k\pi }{\omega },0\right)$，对称轴为 $x=\frac{(2k+1)\pi }{2\omega }$，两者交替出现． 相邻的一个对称中心与一条对称轴的水平距离为 $\frac{T}{4}$（$T$ 为最小正周期）． 由题意 $\frac{T}{4}=\frac{\pi }{4}$，得 $T=\pi$，选 B．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦型对称性与周期

核心方法：对称中心到相邻对称轴最小距离 $=\frac{T}{4}=\frac{\pi }{4}$，得 $T=\pi$，选 B

避坑指南：$\sin$ 图象对称中心（零点）与对称轴（峰谷）相间排列，相邻间距 $\frac{T}{4}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 正弦型函数对称性，三角图象性质

结论推广: 相邻对称中心与对称轴间距 $T/4$

方法推广: $\sin$ 的对称中心是零点、对称轴过峰谷，交替排列

🔗【关联脉络】

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