2006-湖北卷理-20 解-点与圆的位置关系

本题导读

本题是一道经典的解析几何综合大题。第一问通过长半轴、焦距以及准线的比例特征确定标准方程；第二问通过引入准线上动点的坐标参数，联立直线与椭圆方程求得交点坐标，再转化为向量数量积的符号判定，从而严格论证点与圆的内外位置关系。

📌【题干】

Question

（2006年湖北卷(理)） 设 $A$、 $B$ 分别为椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a,b>0)$ 的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且 $x=4$ 为它的右准线。 （1）求椭圆的方程； （2）设 $P$ 为右准线上不同于点 $(4,0)$ 的任意一点，若直线 $AP$、 $BP$ 分别与椭圆相交于异于 $A$、 $B$ 的点 $M$、 $N$，证明点 $B$ 在以 $MN$ 为直径的圆内。

🔍【思路分析】

破题导航

第（1）问：由长半轴长等于焦距得 $a=2c$，由右准线方程得 $\frac{a^2}{c}=4$，联立两式求出 $a,c$，进而由 $b^2=a^2-c^2$ 确定椭圆方程。 第（2）问：得出 $A(-2,0),B(2,0)$，设右准线上的动点 $P(4,t)(t\ne 0)$。写出直线 $AP,BP$ 的方程并分别与椭圆方程联立，借助韦达定理或因式分解求出交点 $M,N$ 的坐标。要证明点 $B$ 在以 $MN$ 为直径的圆内，只需证明 $\angle MBN$ 为钝角，即向量点积 $\overrightarrow{BM}\cdot \overrightarrow{BN}<0$。

✅【答案】

Success

椭圆方程为x²/4+y²/3=1；点B在以MN为直径的圆内.

✍【详细解析】

Abstract

（1）求椭圆的方程

设椭圆的半焦距为 $c$。 由题意，“长半轴的长等于焦距”，得： $a=2c\text{(1)}$ 又已知右准线方程为 $x=4$，由椭圆几何性质得： $\frac{a^2}{c}=4\text{(2)}$ 将 ① 代入 ② 中，得： $\frac{(2c{)}^2}{c}=4⟹\frac{4c^2}{c}=4⟹4c=4⟹c=1$ 从而求得： $a=2c=2$ 根据关系式 $b^2=a^2-c^2$，得： $b^2=2^2-1^2=3$ 所以，椭圆的方程为： $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$

（2）证明点 $B$ 在以 $MN$ 为直径的圆内

由（1）可知，椭圆的左、右顶点坐标分别为 $A(-2,0)$， $B(2,0)$。右准线方程为 $x=4$。 因为点 $P$ 在右准线上且不同于 $(4,0)$，可设 $P(4,t)$，其中 $t\ne 0$。

直线 $AP$ 的斜率为 $k_{AP}=\frac{t-0}{4-(-2)}=\frac{t}{6}$，其方程为： $y=\frac{t}{6}(x+2)\text{(3)}$ 将 ③ 代入椭圆方程 $3x^2+4y^2=12$ 中，得： $3x^2+4\cdot {\left[\frac{t}{6}(x+2)\right]}^2=12⟹3x^2+\frac{t^2}{9}(x^2+4x+4)=12$ 两边同乘 9 并整理得： $(27+t^2)x^2+4t^{2}x+4t^2-108=0$ 因为点 $A(-2,0)$ 在椭圆上，即 $x=-2$ 是该方程的一个实根。设点 $M$ 的坐标为 $(x_M,y_M)$，由韦达定理（根与系数的关系）得： $-2\cdot x_M=\frac{4t^2-108}{27+t^2}⟹x_M=\frac{54-2t^2}{27+t^2}$ 代入 ③ 式得 $M$ 的纵坐标： $y_M=\frac{t}{6}\left(\frac{54-2t^2}{27+t^2}+2\right)=\frac{t}{6}\left(\frac{54-2t^2+54+2t^2}{27+t^2}\right)=\frac{18t}{27+t^2}$

同理，直线 $BP$ 的斜率为 $k_{BP}=\frac{t-0}{4-2}=\frac{t}{2}$，其方程为： $y=\frac{t}{2}(x-2)\text{(4)}$ 将 ④ 代入椭圆方程 $3x^2+4y^2=12$ 中，得： $3x^2+4\cdot {\left[\frac{t}{2}(x-2)\right]}^2=12⟹(3+t^2)x^2-4t^{2}x+4t^2-12=0$ 因为点 $B(2,0)$ 在椭圆上，即 $x=2$ 是该方程的一个实根。设点 $N$ 的坐标为 $(x_N,y_N)$，由韦达定理得： $2\cdot x_N=\frac{4t^2-12}{3+t^2}⟹x_N=\frac{2t^2-6}{3+t^2}$ 代入 ④ 式得 $N$ 的纵坐标： $y_N=\frac{t}{2}\left(\frac{2t^2-6}{3+t^2}-2\right)=\frac{t}{2}\left(\frac{2t^2-6-6-2t^2}{3+t^2}\right)=\frac{-6t}{3+t^2}$

现在计算向量 $\overrightarrow{BM}$ 与 $\overrightarrow{BN}$ 的坐标： $\overrightarrow{BM}=(x_M-2,y_M)=\left(\frac{54-2t^2}{27+t^2}-2,\frac{18t}{27+t^2}\right)=\left(\frac{-4t^2}{27+t^2},\frac{18t}{27+t^2}\right)$ $\overrightarrow{BN}=(x_N-2,y_N)=\left(\frac{2t^2-6}{3+t^2}-2,\frac{-6t}{3+t^2}\right)=\left(\frac{-12}{3+t^2},\frac{-6t}{3+t^2}\right)$

计算这两个向量的数量积（点积）： $\overrightarrow{BM}\cdot \overrightarrow{BN}=\left(\frac{-4t^2}{27+t^2}\right)\cdot \left(\frac{-12}{3+t^2}\right)+\left(\frac{18t}{27+t^2}\right)\cdot \left(\frac{-6t}{3+t^2}\right)$ $=\frac{48t^2}{(27+t^2)(3+t^2)}-\frac{108t^2}{(27+t^2)(3+t^2)}=\frac{-60t^2}{(27+t^2)(3+t^2)}$

因为 $t\ne 0$，所以 $t^2>0$，分母 $(27+t^2)(3+t^2)>0$，从而有： $\overrightarrow{BM}\cdot \overrightarrow{BN}<0$ 由于数量积小于 0，说明 $\angle MBN$ 为钝角。 根据圆的几何性质，以 $MN$ 为直径的圆，其圆周上的点对 $MN$ 两端点所张的角为直角，圆外的点所张的角为锐角，圆内的点所张的角为钝角。 因此，点 $B$ 必在以 $MN$ 为直径的圆内。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：椭圆长轴、短轴、焦距与准线的几何意义方程构建；直线与曲线交点的“设而不求”与因式分解处理；利用向量点积的正负号判断点与圆的位置关系。
• 核心方法：交点代数化、韦达定理降次法、向量数量积法。
• 避坑指南：
• 联立高次方程求解 $M,N$ 的坐标时计算量较大，要善于利用“已知交点 $A$ 或 $B$ 必定是方程的根”这一已知条件对二次方程直接进行因式分解，能极大降低错算概率。
• 最终论证“点在圆内”时，须清晰陈述“点积小于 0 $⟺$ 张角为钝角 $⟺$ 点在圆内”的逻辑链条，以确保步骤推导扣分点完整。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查解析几何综合推导与性质证明的压轴题型，直接取材于人教A版选择性必修第一册第三章《圆锥曲线的方程》中关于圆锥曲线准线性质探究的拓展演练。 结论推广: 本题本质上是椭圆**圆锥曲线斜率积与阿波罗尼斯圆（Apollonius Circle）**性质的一个优美变形。若 $A,B$ 为椭圆的左右顶点， $P$ 为右准线 $x=\frac{a^2}{c}$ 上的任意动点，直线 $AP,BP$ 与椭圆交于 $M,N$，则恒有 $\overrightarrow{BM}\cdot \overrightarrow{BN}=\frac{c^2-a^2}{a^2+c^2}\cdot \frac{a^2{t}^2}{a^2+c^2\dots }$ 型负值变式。此代数符号完全由 $b^2=a^2-c^2$ 的几何构造决定，对所有椭圆该结论均恒成立。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 17.05 直线与圆的位置关系
• 09.03 平面向量的数量积
• 17.03 点与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2007-湖南文-09 单-椭圆准线距离定离心率
• 2008-湖南文-19 解-椭圆准线与对称点