2006-湖北卷理-18 解-线线垂直与线面投影的几何性质

本题导读

本题主要考查空间向量在立体几何中的应用。核心考查利用空间直角坐标系量化空间点线面位置关系，通过向量的数量积运算求解线面角以及探究线线垂直的存在性问题。

📌【题干】

Question

（2006年湖北卷(理)） 如图，在棱长为 1 的正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中， $P$ 是侧棱 $C{C}_1$ 上的一个点， $CP=m$。 （1）试确定 $m$，使直线 $AP$ 与平面 $BD{D}_1{B}_1$ 所成角的正切值为 $3\sqrt{2}$； （2）在线段 $A_1{C}_1$ 上是否存在一个定点 $Q$，使得对任意的 $m$， $D_{1}Q$ 在平面 $AP{D}_1$ 上的射影垂直于 $AP$，并证明你的结论。

🔍【思路分析】

破题导航

第（1）问：以 $D$ 为原点建立空间直角坐标系，写出各相关点及向量 $\overrightarrow{AP}$ 的坐标。求出平面 $BD{D}_1{B}_1$ 的一个法向量 $\vec{n}$，利用线面角的向量公式 $\sin \theta =\frac{|\overrightarrow{AP}\cdot \vec{n}|}{|\overrightarrow{AP}||\vec{n}|}$ 与同角三角函数关系，列出关于 $m$ 的方程进行求解。 第（2）问：利用三垂线定理或投影的向量性质，直线 $D_{1}Q$ 在平面 $AP{D}_1$ 上的射影垂直于 $AP$ 的充要条件是 $D_{1}Q\perp AP$（即 $\overrightarrow{D_{1}Q}\cdot \overrightarrow{AP}=0$）。设出点 $Q$ 在 $A_1{C}_1$ 上的参数坐标，带入点积方程，分析是否存在与 $m$ 无关的解。

✅【答案】

Success

在线段 $A_1{C}_1$ 上存在定点 $Q$（ $A_1{C}_1$ 的中点），使得对任意的 $m$， $D_{1}Q$ 在平面 $AP{D}_1$ 上的射影垂直于 $AP$

✍【详细解析】

Abstract

以 $D$ 为原点， $DA,DC,D{D}_1$ 所在直线分别为 $x$ 轴、 $y$ 轴、 $z$ 轴建立空间直角坐标系 $D-xyz$。 则各点坐标为： $D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D_1(0,0,1),A_1(1,0,1),C_1(0,1,1),P(0,1,m)$，其中 $0\le m\le 1$。

（1）确定 $m$ 的值

由题意得， $\overrightarrow{AP}=(-1,1,m)$。 平面 $BD{D}_1{B}_1$ 经过原点 $D(0,0,0)$，且 $\overrightarrow{DB}=(1,1,0)$, $\overrightarrow{D{D}_1}=(0,0,1)$。 易得平面 $BD{D}_1{B}_1$ 的一个法向量为 $\vec{n}=(1,-1,0)$。

设直线 $AP$ 与平面 $BD{D}_1{B}_1$ 所成的角为 $\theta$，则： $\sin \theta =\frac{|\overrightarrow{AP}\cdot \vec{n}|}{|\overrightarrow{AP}|\cdot |\vec{n}|}=\frac{|-1\times 1+1\times (-1)+m\times 0|}{\sqrt{(-1{)}^2+1^2+m^2}\cdot \sqrt{1^2+(-1{)}^2+0^2}}=\frac{2}{\sqrt{2+m^2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2+m^2}}$

因为 $\tan \theta =3\sqrt{2}$，根据同角三角函数关系有 ${\sin }^2\theta =\frac{{\tan }^2\theta }{1+{\tan }^2\theta }$，则： ${\sin }^2\theta =\frac{(3\sqrt{2}{)}^2}{1+(3\sqrt{2}{)}^2}=\frac{18}{19}$ 所以： $\frac{2}{2+m^2}=\frac{18}{19}⟹18(2+m^2)=38⟹18m^2=2⟹m^2=\frac{1}{9}$ 由于 $0\le m\le 1$，解得 $m=\frac{1}{3}$。

（2）探究定点 $Q$ 的存在性

结论：在线段 $A_1{C}_1$ 上存在一个定点 $Q$，且 $Q$ 为 $A_1{C}_1$ 的中心（中点）时满足题意。

证明如下： 由于 $D_1$ 在平面 $AP{D}_1$ 上，根据三垂线定理的逆定理， $D_{1}Q$ 在平面 $AP{D}_1$ 上的射影垂直于 $AP$ 等价于： $D_{1}Q\perp AP⟺\overrightarrow{D_{1}Q}\cdot \overrightarrow{AP}=0$

设点 $Q$ 是线段 $A_1{C}_1$ 上任意一点，由 $A_1(1,0,1),C_1(0,1,1)$ 可设 $Q(\lambda ,1-\lambda ,1)$，其中 $0\le \lambda \le 1$。 则有 $\overrightarrow{D_{1}Q}=(\lambda ,1-\lambda ,0)$。 计算数量积： $\overrightarrow{D_{1}Q}\cdot \overrightarrow{AP}=\lambda \cdot (-1)+(1-\lambda )\cdot 1+0\cdot m=1-2\lambda$

要使对任意的 $m$，恒有 $\overrightarrow{D_{1}Q}\cdot \overrightarrow{AP}=0$，只需： $1-2\lambda =0⟹\lambda =\frac{1}{2}$

由于 $\lambda =\frac{1}{2}$ 与 $m$ 的取值无关，说明此时点 $Q$ 确实为一个定点。 此时点 $Q$ 的坐标为 $\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1\right)$，即线段 $A_1{C}_1$ 的中点。 综上所述，在线段 $A_1{C}_1$ 上存在定点 $Q$（ $A_1{C}_1$ 的中点），使得对任意的 $m$， $D_{1}Q$ 在平面 $AP{D}_1$ 上的射影垂直于 $AP$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：空间向量坐标系的构建；线面角计算公式 $\sin \theta =|\cos ⟨\vec{v},\vec{n}⟩|$；线线垂直与平面投影垂直的几何转化。
• 核心方法：坐标建系法、几何条件向量化法。
• 避坑指南：
• 第（1）问求得线面角的正弦向量式后，切勿直接令其等于 $3\sqrt{2}$（正弦值不可能大于1），必须通过平方关系将已知正切值 $\tan \theta$ 转换为正弦值 $\sin \theta$ 后方可对齐。
• 第（2）问的核心在于精简几何语言，利用三垂线定理将“影面垂直”转化为“线线垂直”，从而规避去求解复杂的平面 $AP{D}_1$ 的动法向量。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查立体几何空间向量综合运用的经典解答题，取材于人教A版选择性必修第一册第一章《空间向量与立体几何》中关于线面角与射影定理的综合题型。 结论推广: 设 $\alpha$ 是过点 $O$ 的平面， $\vec{u}$ 为其中的一条直线方向向量。若空间中一向量 $\vec{v}$ 从点 $O$ 出发，则 $\vec{v}$ 在平面 $\alpha$ 上的射影垂直于 $\vec{u}$ 的充要条件是 $\vec{v}\cdot \vec{u}=0$。该几何定理消除了平面法向量的制约，在处理射影垂直类创新探究题时，可以大幅度精简计算步骤。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算
• 16.03 两条直线的位置关系判定
• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2007-上海卷理-19 解-用空间向量求二面角
• 2007-山东卷理-19 解-用空间向量求二面角