2006-湖北卷理-17 解-数列不等式恒成立问题

本题导读

本题主要考查导数逆向确定二次函数解析式、数列前 $n$ 项和与通项公式的基本互化、分式裂项相消求和以及单调递增数列的恒成立有界性分析。

📌【题干】

Question

（2006年湖北卷(理)） 已知二次函数 $y=f(x)$ 的图象经过坐标原点，其导函数为 $f^{\prime }(x)=6x-2$，数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，点 $(n,S_n)$ ($n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$) 均在函数 $y=f(x)$ 的图象上． （1）求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式； （2）设 $b_n=\frac{3}{a_n{a}_{n+1}}$， $T_n$ 是数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和，求使得 $T_n<\frac{m}{20}$ 对所有 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$ 都成立的最小正整数 $m$．

🔍【思路分析】

破题导航

设出二次函数标准式，求导对齐系数并结合过原点特征求得 $f(x)=3x^2-2x$。利用 $S_n=f(n)$ 与 $a_n=S_n-S_{n-1}(n\ge 2)$ 求解通项公式并进行首项验证。 由通项展开 $b_n$ 并利用公式进行分式裂项，通过累加消项求出 $T_n=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{6n+1}\right)$。分析该递增数列的渐近线极限值，将恒成立问题转化为临界值不等式解出 $m$ 的取值范围。

✅【答案】

Success

$an=6n-5；m=10.$

✍【详细解析】

Abstract

（1）求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式

设二次函数为 $f(x)=A{x}^2+Bx+C$． 其导函数为 $f^{\prime }(x)=2Ax+B$． 由于已知 $f^{\prime }(x)=6x-2$，通过系数对齐可得： $2A=6⟹A=3,B=-2$ 又因为函数图象过坐标原点，即 $f(0)=0⟹C=0$． 所以二次函数解析式为： $f(x)=3x^2-2x$

因为点 $(n,S_n)$ 均在 $y=f(x)$ 的图象上，所以： $S_n=3n^2-2n(n\in {\mathbf{N}}^{\ast })$

当 $n=1$ 时： $a_1=S_1=3\times 1^2-2\times 1=1$ 当 $n\ge 2$ 时： $a_n=S_n-S_{n-1}=(3n^2-2n)-[3(n-1{)}^2-2(n-1)]$ $=3n^2-2n-(3n^2-6n+3-2n+2)=6n-5$ 由于当 $n=1$ 时， $6\times 1-5=1=a_1$ 同样满足上式． 故数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为： $a_n=6n-5(n\in {\mathbf{N}}^{\ast })$

（2）求最小正整数 $m$

由（1）知 $a_n=6n-5$，则 $a_{n+1}=6(n+1)-5=6n+1$． 则 $b_n$ 的表达式为： $b_n=\frac{3}{(6n-5)(6n+1)}$ 进行分式裂项变形： $b_n=\frac{3}{6}\left(\frac{1}{6n-5}-\frac{1}{6n+1}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{6n-5}-\frac{1}{6n+1}\right)$

对其进行级数累加求前 $n$ 项和 $T_n$（裂项相消法）： $T_n={\sum }_{k=1}^n{b}_k=\frac{1}{2}\left[\left(1-\frac{1}{7}\right)+\left(\frac{1}{7}-\frac{1}{13}\right)+\cdots +\left(\frac{1}{6n-5}-\frac{1}{6n+1}\right)\right]$ $T_n=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{6n+1}\right)$

要使 $T_n<\frac{m}{20}$ 对所有 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$ 恒成立： 因为 $\frac{1}{6n+1}>0$，所以对任意 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，恒有 $T_n<\frac{1}{2}$ 且 ${\lim }_{n\to \infty }{T}_n=\frac{1}{2}$． 这表明数列 $\{T_n\}$ 是严格单调递增且向 $\frac{1}{2}$ 渐近的有界数列． 因此，不等式恒成立的充要条件为： $\frac{1}{2}\le \frac{m}{20}⟹m\ge 10$

由于 $m$ 为正整数，故满足条件的最小正整数 $m=10$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：导数多项式运算与原函数恢复；通项与前 $n$ 项和的转化公式 $a_n=S_n-S_{n-1}$；级数裂项相消变形公式；单调数列临界界限判定。
• 核心方法：分式裂项法与极限有界分析法。
• 避坑指南：
• 求解第（1）问通过 $S_n-S_{n-1}$ 得到通项后，必须单独将 $n=1$ 代入检验，确认首项是否包含在统一公式内。
• 第（2）问处理恒成立不等式时，必须明确递增数列的界限由 $n\to \infty$ 时的极限值决定，不可误用 $n=1$ 时的首项作为最大范围边界。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查数列综合应用和不等式约束的经典大题，直接取材于人教A版选择性必修第二册第四章《数列》中关于裂项求和与不等式恒成立证明的综合拓广题。 结论推广: 对于等差数列 $a_n=dn+c$，由倒数构成的拆项序列 $b_n=\frac{k}{a_n{a}_{n+1}}$，其前 $n$ 项和通式具有几何不变性，恒为 $T_n=\frac{k}{d}\left(\frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_{n+1}}\right)$。若数列单调递增，其最小上界（渐近线）为 $\frac{k}{d\cdot a_1}$，所有恒大于该数列的控制参数均需大于或等于该极限临界值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 19.03 数列通项公式求法全攻略
• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2007-大纲Ⅰ文-21 解-等差等比数列与错位相减
• 2009-大纲Ⅰ文-17 解-等差等比综合