2006-湖北卷理-11 填-复数相等的充要条件

本题导读

本题考查复数的除法运算法则及复数相等的定义。核心在于通过分母有理化将复数方程转化为实数二元一次方程组进行求解。

📌【题干】

Question

（2006年湖北卷(理)） 设 $x$、$y$ 为实数，且 $\frac{x}{1-\text{i}}+\frac{y}{1-2\text{i}}=\frac{5}{1-3\text{i}}$，则 $x+y=$ $\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

利用复数的除法运算法则，分子分母同乘分母的共轭复数，将等式两边的复数项均化为 $a+b\text{i}(a,b\in \mathbf{R})$ 的标准形式。 根据复数相等的充要条件，令等式两边的实部与实部相等、虚部与虚部相等，建立关于 $x,y$ 的二元一次方程组。 解方程组求出 $x$ 和 $y$ 的值，进而求得 $x+y$ 的结果。

✅【答案】

Success

$4$

✍【详细解析】

Abstract

对原方程左右两边的各项分别进行分母有理化： 左边第一项： $\frac{x}{1-\text{i}}=\frac{x(1+\text{i})}{(1-\text{i})(1+\text{i})}=\frac{x+x\text{i}}{1-{\text{i}}^2}=\frac{x}{2}+\frac{x}{2}\text{i}$

左边第二项： $\frac{y}{1-2\text{i}}=\frac{y(1+2\text{i})}{(1-2\text{i})(1+2\text{i})}=\frac{y+2y\text{i}}{1-4{\text{i}}^2}=\frac{y}{5}+\frac{2y}{5}\text{i}$

右边单项： $\frac{5}{1-3\text{i}}=\frac{5(1+3\text{i})}{(1-3\text{i})(1+3\text{i})}=\frac{5+15\text{i}}{1-9{\text{i}}^2}=\frac{5+15\text{i}}{10}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\text{i}$

将上述化简结果代入原方程，合并同类项得： $\left(\frac{x}{2}+\frac{y}{5}\right)+\left(\frac{x}{2}+\frac{2y}{5}\right)\text{i}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\text{i}$

因为 $x,y$ 为实数，根据复数相等的充要条件可得方程组： $\{\begin{array}{l}\frac{x}{2}+\frac{y}{5}=\frac{1}{2}\\ \frac{x}{2}+\frac{2y}{5}=\frac{3}{2}\end{array}⟹\{\begin{array}{l}5x+2y=5\text{(1)}\\ 5x+4y=15\text{(2)}\end{array}$

两式相减 ② - ① 得： $2y=10⟹y=5$

将 $y=5$ 代入 ① 得： $5x+10=5⟹5x=-5⟹x=-1$

所以： $x+y=-1+5=4$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：复数四则运算中的除法（共轭复数相乘）；复数相等模型 $a+b\text{i}=c+d\text{i}⟹a=c,b=d$。
• 核心方法：分母逐项有理化。
• 避坑指南：在分母乘法展开时，务必注意 ${\text{i}}^2=-1$ 的符号变换。例如 $(1-2\text{i})(1+2\text{i})=1-4{\text{i}}^2=1-4(-1)=5$，此处极易因粗心算成 $1-4=-3$ 导致全盘错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题属于考查复数基础运算通性通法的常规典型小题，直接取材于人教A版必修第二册第七章《复数》中关于复数四则运算的课后练习。 结论推广: 对于复数代数方程 $\frac{x}{a-b\text{i}}+\frac{y}{a-c\text{i}}=\frac{k}{a-d\text{i}}$，通过通分或分母有理化皆可平稳转化为经典的线性方程组。在复数范围内，“一个复数方程”因其实部、虚部分离的独特性质，在实数范围内本质上等价于“一个二元方程组”。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数
• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2007-大纲卷II理-03 单-共轭复数复数相等充要条件
• 2007-天津卷理-01 单-复数代数形式除法运算