2006-湖北卷理-10 单-函数与方程的对应关系

本题导读

本题考查复合方程根的个数问题。核心在于通过换元法将高次绝对值方程转化为二次方程，并精确分析换元变量 $t$ 与原自变量 $x$ 之间的一对多映射关系。

📌【题干】

Question

（2006年湖北卷(理)） 关于 $x$ 的方程 $(x^2-1{)}^2-|x^2-1|+k=0$, 给出下列四个命题: ① 存在实数 $k$, 使得方程恰有 2 个不同的实根; ② 存在实数 $k$, 使得方程恰有 4 个不同的实根; ③ 存在实数 $k$, 使得方程恰有 5 个不同的实根; ④ 存在实数 $k$, 使得方程恰有 8 个不同的实根. 其中假命题的个数是()

A. 0　　　　　　　B. 1　　　　　　　C. 2　　　　　　　D. 3

🔍【思路分析】

破题导航

令 $t=|x^2-1|\ge 0$，则原方程变形为关于 $t$ 的二次方程 $t^2-t+k=0$。 分析单一的 $t$ 值对应原自变量 $x$ 的实根个数规律（分 $t>1,t=1,0<t<1,t=0$ 四种情况讨论）。 利用二次函数的图象性质，分析不同 $k$ 取值下方程所能提供的 $t$ 的个数及范围，累加得到 $x$ 的总根数，从而判定各命题真伪。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

令 $t=|x^2-1|$，显然 $t\ge 0$。因为 $(x^2-1{)}^2=|x^2-1{|}^2=t^2$，原方程可化为： $t^2-t+k=0⟹k=-t^2+t(t\ge 0)$

首先分析每一个确定的 $t\ge 0$ 所对应的 $x$ 的不同实根个数。由 $t=|x^2-1|⟹x^2-1=t$ 或 $x^2-1=-t$：

• 当 $t>1$ 时， $x^2=1+t$ 有2个实根， $x^2=1-t<0$ 无实根，共 2 个 $x$ 根；
• 当 $t=1$ 时， $x^2=2$ 有2个实根， $x^2=0$ 有1个实根，共 3 个 $x$ 根；
• 当 $0<t<1$ 时， $x^2=1+t$ 有2个实根， $x^2=1-t>0$ 有2个实根，共 4 个 $x$ 根；
• 当 $t=0$ 时， $x^2=1$ 有 2 个 $x$ 根。

令 $g(t)=-t^2+t=-{\left(t-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{1}{4}$，通过函数 $k=g(t)(t\ge 0)$ 的图象分析 $k$ 的取值对 $x$ 总根数的影响：

• 当 $k<0$ 时，方程有一个根 $t>1$（另一个负根舍去），对应 $x$ 有 2 个实根，故命题 ① 为真；
• 当 $k=\frac{1}{4}$ 时，方程有一个重根 $t=\frac{1}{2}\in (0,1)$，对应 $x$ 有 4 个实根，故命题 ② 为真；
• 当 $k=0$ 时，方程有两个根 $t_1=0,t_2=1$，总根数为 $2+3=$ 5 个实根，故命题 ③ 为真；
• 当 $0<k<\frac{1}{4}$ 时，方程有两个不同的根 $t_1,t_2\in (0,1)$，总根数为 $4+4=$ 8 个实根，故命题 ④ 为真。

综上所述，四个命题全部为真命题，假命题的个数为 0。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：换元思想的应用，一元二次方程根的分布，绝对值方程根的一对多映射讨论。
• 核心方法：代数换元与数形结合法。
• 避坑指南：本题极易在建立 $t$ 与 $x$ 的映射时发生错漏。尤其是忽略 $t=1$ 时由 $x^2=0$ 产生奇数个根（3个）以及 $t=0$ 时只有2个根的特殊交界位置，导致无法准确判断命题 ③。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题属于典型的复合函数零点问题，其高等数学背景为代数方程根的拓扑分支与分歧（Bifurcation），考查复合映射的层级分析能力。 结论推广: 对于形如 $f(g(x))=0$ 的方程根数问题，通用方法是“分层计数法”：第一步求内层 $t=g(x)$ 的实根分布特性并建立 $t\to x$ 的根数映射函数；第二步结合外层 $f(t)=0$ 的根值域范围将对应根数进行叠加计数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2007-广东文-21 解-含参二次函数区间零点
• 2009-广东卷文-21 解-二次函数零点