2006-湖北卷理-07 单-求动点的轨迹方程

本题导读

本题主要考查平面向量的坐标运算、向量数量积的代数表示以及利用直接法求解动点轨迹方程。核心在于通过向量共线及轴对称性质，将几何条件转化为关于动点坐标的代数方程。

📌【题干】

Question

（2006年湖北卷(理)） 设过点 $P(x,y)$ 的直线分别与 $x$ 轴的正半轴和 $y$ 轴的正半轴交于 $A,B$ 两点，点 $Q$ 与点 $P$ 关于 $y$ 轴对称， $O$ 为坐标原点，若 $\overrightarrow{BP}=2\overrightarrow{PA}$ 且 $\overrightarrow{OQ}\cdot \overrightarrow{AB}=1$，则点 $P$ 的轨迹方程是()

A. $3x^2+\frac{3}{2}{y}^2=1(x>0,y>0)$　　B. $3x^2-\frac{3}{2}{y}^2=1(x>0,y>0)$

C. $\frac{3}{2}{x}^2-3y^2=1(x>0,y>0)$　　D. $\frac{3}{2}{x}^2+3y^2=1(x>0,y>0)$

🔍【思路分析】

破题导航

设出交点 $A(a,0)$ 和 $B(0,b)$，由题意知 $a>0,b>0$。根据 $\overrightarrow{BP}=2\overrightarrow{PA}$ 建立坐标关系，用 $x,y$ 表示出 $a,b$。 确定点 $Q$ 的坐标及向量 $\overrightarrow{OQ}$、 $\overrightarrow{AB}$ 的坐标，代入数量积方程 $\overrightarrow{OQ}\cdot \overrightarrow{AB}=1$ 中化简，并结合自变量范围锁定轨迹方程。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

设直线与 $x$ 轴、 $y$ 轴正半轴的交点分别为 $A(a,0),B(0,b)$，其中 $a>0,b>0$。 则相关向量坐标为： $\overrightarrow{BP}=(x-0,y-b)=(x,y-b)$ $\overrightarrow{PA}=(a-x,0-y)=(a-x,-y)$

因为 $\overrightarrow{BP}=2\overrightarrow{PA}$，对应分量相等得： $\{\begin{array}{l}x=2(a-x)⟹a=\frac{3}{2}x\\ y-b=-2y⟹b=3y\end{array}$ 由于 $a>0,b>0$，可得动点 $P$ 的坐标范围限制为 $x>0,y>0$。

因为点 $Q$ 与点 $P(x,y)$ 关于 $y$ 轴对称，所以 $Q$ 的坐标为 $(-x,y)$。 则向量为： $\overrightarrow{OQ}=(-x,y)$ $\overrightarrow{AB}=B-A=(-a,b)=\left(-\frac{3}{2}x,3y\right)$

将两向量代入数量积条件 $\overrightarrow{OQ}\cdot \overrightarrow{AB}=1$ 中，得： $(-x)\cdot \left(-\frac{3}{2}x\right)+y\cdot (3y)=1$ $\frac{3}{2}{x}^2+3y^2=1$

结合范围 $x>0,y>0$，即为点 $P$ 的轨迹方程。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：平面向量共线的坐标比例变形；点关于坐标轴对称的特征；数量积的坐标计算式 $\vec{u}\cdot \vec{v}=x_1{x}_2+y_1{y}_2$。
• 核心方法：参数互化与直接代入法。
• 避坑指南：
• 极易忽略题干中“正半轴”这一重要限制条件。求曲线轨迹方程必须保证自变量范围的完备性，若缺少 $(x>0,y>0)$，则不能称为完整的轨迹方程。
• 在处理 $\overrightarrow{AB}$ 时注意起止点顺序， $\overrightarrow{AB}=B-A=(-a,b)$，切勿错写成 $(a,-b)$ 导致后续项负号出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查平面向量工具性在解析几何求轨迹方程中应用的标准中档题，取材于人教A版选择性必修第一册第三章《圆锥曲线的方程》中有关椭圆定义与向量方程转化性质的课后综合练习。 结论推广: 设直线交 $x,y$ 正半轴于 $A(a,0),B(0,b)$。若 $\overrightarrow{BP}=\lambda \overrightarrow{PA}$，则 $a=\frac{1+\lambda }{\lambda }x,b=(1+\lambda )y$。当 $Q$ 与 $P$ 关于 $y$ 轴对称且 $\overrightarrow{OQ}\cdot \overrightarrow{AB}=k$ 时，可推广得到其通用的椭圆轨迹方程为： $\frac{1+\lambda }{\lambda }{x}^2+(1+\lambda )y^2=k(x>0,y>0)$。本题即为 $\lambda =2,k=1$ 时的特例情况。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算
• 09.03 平面向量的数量积
• 16.05 对称性问题

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-17 单-中点轨迹方程
• 2021-浙江卷-09 单-轨迹方程