2006-湖北卷理-03 单-三角形内角范围与符号判定

本题导读

本题主要考查二倍角的正弦公式、同角三角函数的基本关系及三角形内角的范围对三角函数值正负的判定。利用完全平方公式建立“和式”与“二倍角”的关系，再根据内角范围判断符号。

📌【题干】

Question

（2006年湖北卷(理)） $△ABC$ 的内角 $A$ 满足 $\sin 2A=\frac{2}{3}$，则 $\sin A+\cos A=$()

A. $\frac{\sqrt{15}}{3}$　　　　　　B. $-\frac{\sqrt{15}}{3}$　　　　　　C. $\frac{5}{3}$　　　　　　D. $-\frac{5}{3}$

🔍【思路分析】

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将所求代数式视为整体进行平方，利用恒等式 ${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=1$ 与二倍角公式 $2\sin A\cos A=\sin 2A$ 将其转化为已知量 $\sin 2A$ 的代数式。 结合 $A$ 为三角形内角且 $\sin 2A>0$，推导出 $A$ 为锐角，进而确定 $\sin A+\cos A$ 的符号，开方完成求解。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

对所求代数式两边平方，得： $(\sin A+\cos A{)}^2={\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A+2\sin A\cos A$

根据同角三角函数平方关系及二倍角公式，上式可化简为： $(\sin A+\cos A{)}^2=1+\sin 2A$

将已知条件 $\sin 2A=\frac{2}{3}$ 代入上式中，得： $(\sin A+\cos A{)}^2=1+\frac{2}{3}=\frac{5}{3}$

对两边开平方，可得： $\sin A+\cos A=\pm \sqrt{\frac{5}{3}}=\pm \frac{\sqrt{15}}{3}$

符号判定： 因为 $A$ 是 $△ABC$ 的内角，所以 $0<A<\pi$，从而 $0<2A<2\pi$。 又因为 $\sin 2A=\frac{2}{3}>0$，所以 $2A$ 只能属于第一或第二象限，即： $0<2A<\pi ⟹0<A<\frac{\pi }{2}$

由此可知 $A$ 为锐角，故 $\sin A>0$ 且 $\cos A>0$。 因此，其和必然大于零，即 $\sin A+\cos A>0$。 综上所述， $\sin A+\cos A=\frac{\sqrt{15}}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：三角恒等变形公式 $(\sin A\pm \cos A{)}^2=1\pm \sin 2A$；三角形内角隐含的范围制约。
• 核心方法：整体平方变换法。
• 避坑指南：开方时容易忽略正负号，或没有利用 $\sin 2A>0$ 判定 $A$ 为锐角，从而在 (A) 和 (B) 之间混淆。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题综合考查三角恒等变换与解三角形的基础性质。 结论推广: 对于满足 $(\sin A\pm \cos A{)}^2=1\pm \sin 2A$ 的式子，在三角形内角 $A\in (0,\pi )$ 的条件下，其符号判定为：若 $\sin 2A>0$，则 $A$ 为锐角， $\sin A+\cos A$ 恒为正；若 $\sin 2A<0$，则 $A$ 为钝角，此时 $\sin A+\cos A$ 的符号可通过辅助角公式 $\sqrt{2}\sin \left(A+\frac{\pi }{4}\right)$ 在 $\left(\frac{3\pi }{4},\pi \right)$ 区间内进一步判定。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2007-四川文-18 解-同角关系与差角求角
• 2014-江苏卷-15 解-同角三角函数