2006-湖北文-21 解-椭圆方程与直径圆

本题导读

本题考查椭圆方程与直径圆。核心在于定义法求方程、直径圆性质。

📌【题干】

Question

（2006年湖北卷(文)） 设 $A$，$B$ 分别为椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且 $x=4$ 为它的右准线． （1）求椭圆的方程； （2）设 $P$ 为右准线上不同于点 $(4,0)$ 的任意一点，若直线 $AP$，$BP$ 分别与椭圆相交于异于 $A$，$B$ 的点 $M$，$N$，证明点 $B$ 在以 $MN$ 为直径的圆内。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 长半轴等于焦距：$a=2c$；右准线 $x=\frac{a^2}{c}=\frac{(2c{)}^2}{c}=4c=4\Rightarrow c=1,a=2$。
2. $b^2=a^2-c^2=3$，椭圆 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，顶点 $A(-2,0),B(2,0)$。
3. 设 $P(4,t)$（$t\ne 0$）。直线 $AP$ 与椭圆交于 $A$、$M$，直线 $BP$ 与椭圆交于 $B$、$N$，用韦达定理求 $M,N$ 坐标。
4. 证 $B$ 在以 $MN$ 为直径的圆内 ⟺ $\angle MBN>90^{\circ }$ ⟺ $\overrightarrow{BM}\cdot \overrightarrow{BN}<0$。
5. 代入 $M,N$ 坐标计算 $\overrightarrow{BM}\cdot \overrightarrow{BN}$ 恒为负。

✅【答案】

Success

(1)$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$

(2)证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

（1）由长半轴长等于焦距得 $a=2c$，右准线 $x=\frac{a^2}{c}$，故 $\frac{a^2}{c}=\frac{4c^2}{c}=4c=4$，得 $c=1$，$a=2$，$b^2=a^2-c^2=3$． 所以椭圆方程为 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，其左、右顶点为 $A(-2,0)$、$B(2,0)$．

（2）设 $P(4,t)$（$t\ne 0$）． 直线 $AP$ 的斜率 $k_1=\frac{t}{6}$，方程为 $y=\frac{t}{6}(x+2)$，与椭圆联立： $\frac{x^2}{4}+\frac{t^2(x+2{)}^2}{108}=1,$ 由韦达定理（$x_A=-2$ 为一根），另一根 $x_M=\frac{2(27-t^2)}{27+t^2}$，故 $y_M=\frac{t}{6}(x_M+2)=\frac{18t}{27+t^2}$，即 $M\left(\frac{2(27-t^2)}{27+t^2},\frac{18t}{27+t^2}\right).$ 直线 $BP$ 的斜率 $k_2=\frac{t}{2}$，方程为 $y=\frac{t}{2}(x-2)$，联立得另一交点 $N\left(\frac{2(t^2-3)}{t^2+3},\frac{-6t}{t^2+3}\right).$ 于是 $\overrightarrow{BM}=\left(\frac{2(27-t^2)}{27+t^2}-2,\frac{18t}{27+t^2}\right)=\left(\frac{-4t^2}{27+t^2},\frac{18t}{27+t^2}\right),$ $\overrightarrow{BN}=\left(\frac{2(t^2-3)}{t^2+3}-2,\frac{-6t}{t^2+3}\right)=\left(\frac{-12}{t^2+3},\frac{-6t}{t^2+3}\right).$ 故 $\overrightarrow{BM}\cdot \overrightarrow{BN}=\frac{(-4t^2)(-12)+18t\cdot (-6t)}{(27+t^2)(t^2+3)}=\frac{48t^2-108t^2}{(27+t^2)(t^2+3)}=\frac{-60t^2}{(27+t^2)(t^2+3)}<0.$ 因为 $\overrightarrow{BM}\cdot \overrightarrow{BN}<0$，所以 $\angle MBN>90^{\circ }$，故点 $B$ 在以 $MN$ 为直径的圆内．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆方程与直径圆

核心方法：$a=2c$ 且右准线 $x=\frac{a^2}{c}=4$，得 $a=2,c=1,b=\sqrt{3}$，椭圆 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$

避坑指南：证 $B$ 在以 $MN$ 为直径的圆内 ⟺ $\angle MBN>90^{\circ }$ ⟺ $\overrightarrow{BM}\cdot \overrightarrow{BN}<0$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 椭圆方程与直径圆，解析几何压轴

结论推广: 直径圆内 ⟺ $\overrightarrow{BM}\cdot \overrightarrow{BN}<0$

方法推广: 证明点在直径圆内转化为向量数量积为负

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

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• 2008-湖北文-10 单-嫦娥轨道椭圆离心率
• 2010-广东卷文-07 单-椭圆离心率等差
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