2006-湖北文-10 单-换元方程根的个数

本题导读

本题考查函数零点，以及换元。

📌【题干】

Question

（2006年湖北卷(文)） 关于 $x$ 的方程 $(x^2-1{)}^2-|x^2-1|+k=0$，给出下列四个命题： ① 存在实数 $k$，使得方程恰有 2 个不同的实根； ② 存在实数 $k$，使得方程恰有 4 个不同的实根； ③ 存在实数 $k$，使得方程恰有 5 个不同的实根； ④ 存在实数 $k$，使得方程恰有 8 个不同的实根． 其中假命题的个数是()

A. 0　　　　　　　B. 1　　　　　　　C. 2　　　　　　　D. 3

🔍【思路分析】

破题导航

1. 令 $t=x^2-1$，则 $t⩾-1$，原方程化为 $t^2-|t|+k=0$。
2. 令 $u=|t|⩾0$，则 $u^2-u+k=0$，即 $k=u-u^2$（$u⩾0$）的根 $u$ 对应 $t=\pm u$。
3. 讨论：$u$ 有一根时 $t$ 有一或两根，$x^2=1+t$ 每给一个 $t$ 可给 0、1、2 个 $x$。通过取不同 $k$，可分别实现 2、4、5、8 个实根。
4. 故四个命题全真，假命题个数为 0。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

设 $t=x^2-1$（$t⩾-1$），方程化为 $t^2-|t|+k=0$，再令 $u=|t|⩾0$，得 $u^2-u+k=0$． 考察 $u$ 的根的个数及每个 $u$ 对应的 $x$ 的个数（$t=\pm u$，$x^2=1+t$）： 当 $k=\frac{1}{4}$ 时 $u=\frac{1}{2}$ 重根，$t=\pm \frac{1}{2}$，$x^2=\frac{1}{2}$ 或 $\frac{3}{2}$，共 4 根； 适当选取 $k$（如 $k=0$ 给 $u=0,1$，$t=0,\pm 1$，$x^2=1,0,2$）可给 5 根（$x=\pm 1,0,\pm \sqrt{2}$）； 取 $k<0$ 时 $u$ 有两正根，$t$ 有四个值且均 $>-1$，共 8 根； 故 2、4、5、8 个根均可实现，四个命题全真，假命题个数为 0，选 A．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：换元方程根的个数

核心方法：令 $t=x^2-1$，方程化为 $t^2-|t|+k=0$，讨论 $t$ 的根数再映射回 $x$

避坑指南：四命题全真（0 个假命题）；$x^2=1+t$ 有解要求 $t⩾-1$，逐一数根

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 换元方程根的个数，函数零点

结论推广: $t=x^2-1$ 换元后讨论 $t$ 与 $x$ 的对应根数

方法推广: 换元后先数 $t$ 的根，再映射回 $x$ 数根

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2011-新课标Ⅰ文-10 单-零点所在区间
• 2014-福建卷文-15 填-函数零点
• 2013-四川卷文-10 单-复合函数方程
• 2011-陕西卷文-14 填-二次方程整数根充要