2006-湖北文-07 单-对数复合函数定义域

本题导读

本题考查对数函数，以及函数定义域。

📌【题干】

Question

（2006年湖北卷(文)） 设 $f(x)=\lg \frac{2+x}{2-x}$，则 $f\left(\frac{x}{2}\right)+f\left(\frac{2}{x}\right)$ 的定义域为()

A. $(-4,0)\cup (0,4)$　　　　　　　　　　　　　　　　B. $(-4,-1)\cup (1,4)$

C. $(-2,-1)\cup (1,2)$　　　　　　　　　　　　　　　D. $(-4,-2)\cup (2,4)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $f(t)=\lg \frac{2+t}{2-t}$ 要求 $\frac{2+t}{2-t}>0$，即 $-2<t<2$。
2. 对 $f(\frac{x}{2})$：$-2<\frac{x}{2}<2\Rightarrow -4<x<4$。
3. 对 $f(\frac{2}{x})$：$-2<\frac{2}{x}<2$，即 $\frac{x+1}{x-1}>0$，得 $x<-1$ 或 $x>1$。
4. 交集 $(-4,4)\cap \{x<-1\text{ 或 }x>1\}=(-4,-1)\cup (1,4)$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

$f(t)=\lg \frac{2+t}{2-t}$ 的定义域由 $\frac{2+t}{2-t}>0$ 得 $-2<t<2$． 对 $f\left(\frac{x}{2}\right)$：$-2<\frac{x}{2}<2$，即 $-4<x<4$． 对 $f\left(\frac{2}{x}\right)$：$-2<\frac{2}{x}<2$，即 $\left|\frac{2}{x}\right|<2$，即 $|x|>1$，得 $x<-1$ 或 $x>1$（并 $x\ne 0$ 自动满足）． 两者取交集：$(-4,4)\cap ((-\infty ,-1)\cup (1,+\infty ))=(-4,-1)\cup (1,4)$，选 B．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数复合函数定义域

核心方法：$f(x)=\lg \frac{2+x}{2-x}$，求 $f(x/2)+f(2/x)$ 定义域：两式定义域交集

避坑指南：$f(x/2)$ 需 $-4<x<4$，$f(2/x)$ 需 $x<-1$ 或 $x>1$，交为 $(-4,-1)\cup (1,4)$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 对数复合函数定义域，函数定义域

结论推广: $f(x/2)$ 与 $f(2/x)$ 定义域取交

方法推广: 复合函数定义域是内层取值范围满足外层定义域

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2013-重庆卷文-03 单-对数函数定义域
• 2009-江西卷文-02 单-函数定义域
• 2008-天津文-10 单-对数方程值域条件
• 2013-大纲卷理-04 单-函数定义域