2006-湖北文-06 单-线面位置关系命题

本题导读

本题考查线面位置关系，以及空间命题。

📌【题干】

Question

（2006年湖北卷(文)）关于直线 $m$ ， $n$ 与平面 $α$ ， $β$ ，有以下四个命题： ① 若 $m ∥ α$ ， $n ∥ β$ 且 $α ∥ β$ ，则 $m ∥ n$ ； ② 若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ 且 $α ⊥ β$ ，则 $m ⊥ n$ ； ③ 若 $m ⊥ α$ ， $n ∥ β$ 且 $α ∥ β$ ，则 $m ⊥ n$ ； ④ 若 $m ∥ α$ ， $n ⊥ β$ 且 $α ⊥ β$ ，则 $m ∥ n$ ．其中真命题的序号是()

A. ①②　　　　　　　B. ③④　　　　　　　C. ①④　　　　　　　D. ②③

🔍【思路分析】

破题导航

①： $m ∥ α$ 且 $α ∥ β$ 只能得 $m$ 与 $β$ 无公共点， $n ∥ β$ 与 $m$ 可异面，故①假。

②： $m ⊥ α, n ⊥ β, α ⊥ β$ ，法向量垂直得 $m ⊥ n$ ，②真。

③： $m ⊥ α, α ∥ β \Rightarrow m ⊥ β$ ，又 $n ∥ β$ ，故 $m ⊥ n$ ，③真。

④： $m ∥ α$ ， $n ⊥ β$ ， $α ⊥ β$ 时 $m$ 与 $n$ 可相交，④假。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

① 若 $m ∥ α$ ， $n ∥ β$ ， $α ∥ β$ ，则 $m, n$ 都与 $β$ 无公共点，二者可能异面，未必 $m ∥ n$ ，故①假． ② $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ，且 $α ⊥ β$ ，则 $m$ 为 $α$ 的法向量， $n$ 为 $β$ 的法向量，两平面垂直 ⟺ 法向量垂直，故 $m ⊥ n$ ，②真． ③ $m ⊥ α$ ， $α ∥ β$ 得 $m ⊥ β$ ，又 $n ∥ β$ ，故 $m ⊥ n$ ，③真． ④ $m ∥ α$ ， $n ⊥ β$ ， $α ⊥ β$ 时 $m$ 与 $n$ 可以相交，④假．真命题序号为 ②③，选 D．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面位置关系命题

核心方法：对四个命题逐个反例或定理判定，真命题序号为 ②③

避坑指南：① $m, n$ 可异面，④ $m, n$ 可相交；线面平行/垂直与面面关系交叉判断要画图

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 线面位置关系命题，立几小题

结论推广: ②③ 真： $m ⊥ α, n ⊥ β, α ⊥ β$ 时 $m ⊥ n$

方法推广: 线面关系命题逐一画图或用反例排除

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

2010-山东卷文-04 单-空间位置关系命题

2012-浙江卷文-04 单-线面位置关系判断

2013-广东卷文-08 单-线面关系判定

2010-江西卷文-11 单-正方体空间命题判定

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2006-湖北文-06 单-线面位置关系命题

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