2006-湖北文-04 单-等比数列性质求积

本题导读

本题考查等比数列，以及等比数列性质。

📌【题干】

Question

（2006年湖北卷(文)） 在等比数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=1$，$a_{10}=3$，则 $a_2{a}_3{a}_4{a}_5{a}_6{a}_7{a}_8{a}_9=$()

A. $81$　　　　　　B. $27\sqrt[5]{27}$　　　　　　C. $\sqrt{3}$　　　　　　D. $243$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设公比 $q$，则 $a_{10}=a_1{q}^9=q^9=3$。
2. $a_2{a}_3\cdots a_9=a_1^8{q}^{1+2+\cdots +8}=q^{36}$。
3. $q^{36}=(q^9{)}^4=3^4=81$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

设公比为 $q$，由 $a_{10}=a_1{q}^9$ 且 $a_1=1$ 得 $q^9=3$． $a_2{a}_3\cdots a_9=(a_{1}q)(a_1{q}^2)\cdots (a_1{q}^8)=a_1^8{q}^{1+2+\cdots +8}=q^{36}$（$1+2+\cdots +8=36$）． 所以 $a_2{a}_3\cdots a_9=q^{36}=(q^9{)}^4=3^4=81$，选 A．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列性质求积

核心方法：$a_2{a}_3\cdots a_9=a_1^8{q}^{1+2+\cdots +8}=q^{36}=(q^9{)}^4=3^4=81$

避坑指南：用 $a_{10}=q^9=3$ 整体代换，不必求 $q$；指数相加 $1+2+\cdots +8=36$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 等比数列性质求积，用 $a_{10}$ 整体代换

结论推广: $a_2{a}_3\cdots a_9=a_1^8{q}^{36}=(a_{10}{)}^4$

方法推广: 等比数列连乘积用 $q$ 的指数求和整体代换

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2013-广东卷文-11 填-等比数列求值
• 2009-北京文-10 填-等比数列求和
• 2014-大纲卷理-10 单-等比数列的性质
• 2008-上海卷文-14 单-无穷等比数列求和