2006-浙江卷理-17 解-直线与平面所成的角

本题导读

本题考查四棱锥中的空间几何垂直证明与线面角的计算。由于底面为直角梯形且侧棱垂直于底面，图形中存在天然的两两垂直边界，通过建立空间直角坐标系可将线线垂直、线面角完全转化为向量代数运算。

📌【题干】

Question

（2006年浙江卷(理)） 如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中，底面为直角梯形， $AD\parallel BC,\angle BAD=90^{\circ },PA\perp$ 底面 $ABCD$，且 $PA=AD=AB=2BC,M,N$ 分别为 $PC,PB$ 的中点.

(1) 求证： $PB\perp DM$；

(2) 求 $CD$ 与平面 $ADMN$ 所成的角.

🔍【思路分析】

破题导航

建立空间直角坐标系：由 $PA\perp$ 底面 $ABCD$， $\angle BAD=90^{\circ }$，可知 $AB,AD,PA$ 两两垂直。以 $A$ 为坐标原点，射线 $AB,AD,PA$ 分别为 $x$ 轴、 $y$ 轴、 $z$ 轴正方向建立空间直角坐标系。 设定长度写出各点坐标：设 $BC=1$，则 $PA=AD=AB=2$。结合中点公式写出 $M,N$ 等核心质点的坐标。 向量法求解：

• 第一问：计算向量 $\overrightarrow{PB}$ 与 $\overrightarrow{DM}$ 的坐标，证明它们的数量积 $\overrightarrow{PB}\cdot \overrightarrow{DM}=0$，即可论证线线垂直。
• 第二问：先求出平面 $ADMN$ 的一个法向量 $\vec{n}$，计算 $\overrightarrow{CD}$ 与法向量 $\vec{n}$ 夹角的余弦值，利用线面角公式 $\sin \theta =|\cos ⟨\overrightarrow{CD},\vec{n}⟩|$ 求解。

✅【答案】

Success

（1）证明见解析；（2）$\arcsin \frac{\sqrt{10}}{5}$．

✍【详细解析】

Abstract

解：因为 $PA\perp$ 平面 $ABCD$， $\angle BAD=90^{\circ }$，所以 $AB\perp AD,PA\perp AB,PA\perp AD$。 以 $A$ 为原点，射线 $AB,AD,PA$ 方向分别为 $x$ 轴、 $y$ 轴、 $z$ 轴正方向建立空间直角坐标系 $A-xyz$。

设 $BC=1$，则由题意得 $PA=AD=AB=2$。 各顶点坐标为： $A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2)$ 因为 $AD\parallel BC$， 且 $BC=1$， 结合直角梯形特征可得点 $C$ 的坐标为： $C(2,1,0)$

由于 $M,N$ 分别为 $PC,PB$ 的中点，由中点坐标公式得： $M\left(\frac{0+2}{2},\frac{0+1}{2},\frac{2+0}{2}\right)⟹M\left(1,\frac{1}{2},1\right)$ $N\left(\frac{0+2}{2},\frac{0+0}{2},\frac{2+0}{2}\right)⟹N(1,0,1)$

（1）证明：写出相关向量的直角坐标： $\overrightarrow{PB}=(2-0,0-0,0-2)=(2,0,-2)$ $\overrightarrow{DM}=\left(1-0,\frac{1}{2}-2,1-0\right)=\left(1,-\frac{3}{2},1\right)$

计算这两个向量的数量积： $\overrightarrow{PB}\cdot \overrightarrow{DM}=2\times 1+0\times \left(-\frac{3}{2}\right)+(-2)\times 1=2+0-2=0$ 因为数量积为 0，所以 $\overrightarrow{PB}\perp \overrightarrow{DM}$。 即： $PB\perp DM$

（2）解：由各点坐标写出平面 $ADMN$ 内的两个向量： $\overrightarrow{AD}=(0,2,0),\overrightarrow{AN}=(1,0,1)$ 设平面 $ADMN$ 的一个法向量为 $\vec{n}=(x,y,z)$。 则满足： $\{\begin{array}{l}\vec{n}\cdot \overrightarrow{AD}=0⟹2y=0\\ \vec{n}\cdot \overrightarrow{AN}=0⟹x+z=0\end{array}$ 由第一式解得 $y=0$；由第二式可令 $x=1$，则 $z=-1$。 因此， 平面 $ADMN$ 的一个有效法向量为： $\vec{n}=(1,0,-1)$

写出直线方向向量 $\overrightarrow{CD}$ 的坐标： $\overrightarrow{CD}=(0-2,2-1,0-0)=(-2,1,0)$ 计算方向向量 $\overrightarrow{CD}$ 与平面法向量 $\vec{n}$ 夹角的余弦值： $\cos ⟨\overrightarrow{CD},\vec{n}⟩=\frac{\overrightarrow{CD}\cdot \vec{n}}{|\overrightarrow{CD}|\cdot |\vec{n}|}=\frac{(-2)\times 1+1\times 0+0\times (-1)}{\sqrt{(-2{)}^2+1^2+0^2}\times \sqrt{1^2+0^2+(-1{)}^2}}=\frac{-2}{\sqrt{5}\times \sqrt{2}}=-\frac{2}{\sqrt{10}}=-\frac{\sqrt{10}}{5}$

设直线 $CD$ 与平面 $ADMN$ 所成的角为 $\theta$ ($\theta \in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$)。 根据线面角定理： $\sin \theta =|\cos ⟨\overrightarrow{CD},\vec{n}⟩|=\left|-\frac{\sqrt{10}}{5}\right|=\frac{\sqrt{10}}{5}$

所以， $CD$ 与平面 $ADMN$ 所成角的大小为 $\arcsin \frac{\sqrt{10}}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：直角梯形与垂直侧棱背景下的坐标建系、线线垂直的向量点积判据、线面角的法向量投影计算通式。
• 核心方法：空间向量直角坐标法。
• 避坑指南：
• 确定点 $C$ 坐标时务必仔细。因为 $AB=2$ 且 $BC=1$， $BC\parallel AD$（即 $y$ 轴方向），所以 $C$ 的横坐标随 $B$ 为 2，纵坐标由于长度变为 1。切勿因习惯性把直角梯形的高当成底而写错坐标。
• 线面角的正弦值对应法向量夹角的余弦值的绝对值（ $\sin \theta =|\cos ⟨\vec{v},\vec{n}⟩|$）。最后一步切勿记错三角函数名。

📖【试题探源与推广】

Tip

因此cos θ= √35，即θ= arcsin √25

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 21.01 空间向量及其运算
• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 16.03 两条直线的位置关系判定

类题演练 (Links)

• 2007-上海卷理-19 解-用空间向量求二面角
• 2007-山东卷理-19 解-用空间向量求二面角