2006-浙江卷理-15 解-向量的夹角公式

本题导读

本题考查正弦型函数的解析式确定以及向量夹角的求解。第一问通过特殊点坐标代入确定初相；第二问利用正弦曲线的对称性与周期性确定关键点 $P,M,N$ 的直角坐标，进而使用平面向量夹角公式完成计算。

📌【题干】

Question

（2006年浙江卷(理)） 函数 $y=2\sin (\pi x+\phi ),x\in \mathbf{R}$ （其中 $0\le \phi \le \frac{\pi }{2}$）的图象与 $y$ 轴交于点 $(0,1)$。

(1) 求 $\phi$ 的值；

(2) 设 $P$ 是图象上离 $y$ 轴最近的最高点，$M$、$N$ 是图象与 $x$ 轴的交点，且 $M$ 在 $P$ 左侧、$N$ 在 $P$ 右侧，$M$ 与 $N$ 是相邻的两个交点（两者横坐标之差为半个周期），求 $\overrightarrow{PM}$ 与 $\overrightarrow{PN}$ 的夹角。

🔍【思路分析】

破题导航

第一问：将已知交点 $(0,1)$ 代入函数解析式，得到 $2\sin \phi =1⟹\sin \phi =\frac{1}{2}$。结合给定的边界 $0\le \phi \le \frac{\pi }{2}$ 直接锁定初相 $\phi$ 的值。 第二问：

• 根据解析式确定函数的周期 $T=\frac{2\pi }{\pi }=2$。
• 求解图象中最近的最高点 $P$ 的坐标：令 $\pi x+\phi =\frac{\pi }{2}$ 求出 $x_P$，其纵坐标为最大振幅 2。
• 求解相邻的 $x$ 轴交点 $M,N$ 的坐标：令 $y=0⟹\pi x+\phi =k\pi$，结合图象分布确定 $M,N$ 的具体横坐标。
• 写出向量 $\overrightarrow{PM}$ 与 $\overrightarrow{PN}$ 的坐标表示，套用夹角余弦通式公式 $\cos \theta =\frac{\overrightarrow{PM}\cdot \overrightarrow{PN}}{|\overrightarrow{PM}|\cdot |\overrightarrow{PN}|}$。

✅【答案】

Success

（1）$\phi =\frac{\pi }{6}$；

（2）$\overrightarrow{PM}$ 与 $\overrightarrow{PN}$ 的夹角为 $\arccos \frac{15}{17}$

✍【详细解析】

Abstract

解：（1）因为函数 $y=2\sin (\pi x+\phi )$ 的图象与 $y$ 轴交于点 $(0,1)$， 将 $x=0,y=1$ 代入函数解析式中： 得 $1=2\sin (\pi \times 0+\phi )⟹\sin \phi =\frac{1}{2}$。 又因为已知初相范围约束为 $0\le \phi \le \frac{\pi }{2}$， 所以： 得 $\phi =\frac{\pi }{6}$。

（2）由（1）可知，函数的标准完整解析式为： 得 $y=2\sin \left(\pi x+\frac{\pi }{6}\right)$。 该函数的最小正周期为： $T=\frac{2\pi }{\pi }=2$。

由（1）知解析式为 $y=2\sin \left(\pi x+\frac{\pi }{6}\right)$，取离 $y$ 轴最近的最高点 $P$，此时相位取 $\frac{\pi }{2}$，即： 得 $\pi x_P+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}⟹\pi x_P=\frac{\pi }{3}⟹x_P=\frac{1}{3}$。 由于 $P$ 为最高点，其纵坐标为最大值 2， 故点 $P$ 的坐标为： 得 $P\left(\frac{1}{3},2\right)$。

再求解图象与 $x$ 轴的交点 $M,N$ 的坐标。令 $y=0$，得： $\pi x+\frac{\pi }{6}=k\pi ⟹x=k-\frac{1}{6}(k\in \mathbf{Z})$。 结合图象空间方位分布：

• 点 $M$ 是位于 $x$ 轴负半轴离原点最近的交点，取 $k=0$，解得 $x_M=-\frac{1}{6}$；
• 点 $N$ 是位于 $x$ 轴正半轴离原点最近的交点，取 $k=1$，解得 $x_N=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$。 故交点坐标分别为： 得 $M\left(-\frac{1}{6},0\right),N\left(\frac{5}{6},0\right)$。

由各点坐标写出目标方向向量的直角坐标表示： 得 $\overrightarrow{PM}=\left(-\frac{1}{6}-\frac{1}{3},0-2\right)=\left(-\frac{1}{2},-2\right)$。 即 $\overrightarrow{PN}=\left(\frac{5}{6}-\frac{1}{3},0-2\right)=\left(\frac{1}{2},-2\right)$。

下面计算两个向量的数量积与各自的模长： 得 $\overrightarrow{PM}\cdot \overrightarrow{PN}=\left(-\frac{1}{2}\right)\times \frac{1}{2}+(-2)\times (-2)=-\frac{1}{4}+4=\frac{15}{4}$。 即 $|\overrightarrow{PM}|=\sqrt{{\left(-\frac{1}{2}\right)}^2+(-2{)}^2}=\sqrt{\frac{1}{4}+4}=\frac{\sqrt{17}}{2}$。 即 $|\overrightarrow{PN}|=\sqrt{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+(-2{)}^2}=\sqrt{\frac{1}{4}+4}=\frac{\sqrt{17}}{2}$。

设向量 $\overrightarrow{PM}$ 与 $\overrightarrow{PN}$ 的夹角为 $\theta$ ($\theta \in [0,\pi ]$)， 套用平面向量夹角公式： 得 $\cos \theta =\frac{\overrightarrow{PM}\cdot \overrightarrow{PN}}{|\overrightarrow{PM}|\cdot |\overrightarrow{PN}|}=\frac{\frac{15}{4}}{\frac{\sqrt{17}}{2}\times \frac{\sqrt{17}}{2}}=\frac{\frac{15}{4}}{\frac{17}{4}}=\frac{15}{17}$。

所以， $\overrightarrow{PM}$ 与 $\overrightarrow{PN}$ 的夹角余弦值为 $\frac{15}{17}$， 夹角大小表示为 $\arccos \frac{15}{17}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：三角函数初相的边界确定、正弦型函数最高点与穿轴零点坐标的精确换算、平面向量夹角的坐标恒等计算。
• 核心方法：坐标向量化法、整体相位对应法。
• 避坑指南：
• 第二问确定 $M,N$ 的横坐标时，一定要严格结合题目中给出的直观图像位置进行 $k$ 值的精准定位。 $M$ 在原点左侧，对应 $k=0⟹-1/6$； $N$ 在原点右侧，对应 $k=1⟹5/6$。如果错取 $k$ 的取值，会导致后续向量分量完全崩溃。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正弦型函数图象与平面向量夹角的交汇，向量在这里只提供”从图上取点再算夹角”的工具。 结论推广：$P$ 为最高点、$M,N$ 为相邻零点时，$△PMN$ 恒为等腰三角形，$\cos \angle MPN=\frac{15}{17}$ 与 $\omega$ 无关。 方法推广：图象上取点的三步——定解析式、定相位、定坐标，缺一步就会把 $k$ 取错。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2007-四川文-18 解-同角关系与差角求角
• 2014-江苏卷-15 解-同角三角函数