2006-浙江卷理-10 单-分类讨论思想

本题导读

本题考查有限集合上自复合函数方程 $f(f(x))=f(x)$ 的函数计数问题。核心在于深入剖析该方程对定义域元素映射所带来的几何结构约束：函数的值域必为其不动点集。通过对函数值域元素个数的分类讨论，结合排列组合完成精准计数。

📌【题干】

Question

（2006年浙江卷(理)） 函数 $f:\{1,2,3\}\to \{1,2,3\}$ 满足 $f(f(x))=f(x)$，则这样的函数个数共有()

A. 1 个　　　　　B. 4 个　　　　　C. 8 个　　　　　D. 10 个

🔍【思路分析】

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剖析核心方程的代数本质：

• 设函数 $f(x)$ 的值域为集合 $A$。对于任意 $y\in A$， 必然存在定义域中的某个元素 $x$ 使得 $f(x)=y$。
• 将其代入已知方程 $f(f(x))=f(x)$，可得 $f(y)=y$。
• 这表明：值域 $A$ 中的每一个元素，在 $f$ 的映射下都必须映射回其自身（即值域内的元素全是不动点）。同时，值域之外的元素必须映射到值域内部。 分类讨论值域集合 $A$ 的元素个数： 由于定义域和陪域均为 $\{1,2,3\}$，值域 $A$ 的元素个数 $k$ 只能为 1, 2 或 3。
• 当 $k=3$ 时：值域全满，所有元素均满足 $f(x)=x$。
• 当 $k=2$ 时：从 3 个元素中选 2 个作为不动点值域，剩下的 1 个非值域元素必须映射到这两个值域元素之中。
• 当 $k=1$ 时：全集统一映射到唯一的一个固定常数上（常数函数）。 计算各项排列并求和：将三类互斥情况的方案数求出后，应用加法原理相加。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

解：设集合 $M=\{1,2,3\}$。 已知函数 $f:M\to M$ 满足迭代恒等式： $f(f(x))=f(x)$。 令函数 $f(x)$ 的值域为 $A$（由于陪域为 $M$， 故 $A\subseteq M$）。 对于任意属于值域的元素 $y\in A$， 根据值域定义， 必然存在定义域中的某个 $x\in M$ 使得 $f(x)=y$。 将此关系代入原方程： $f(f(x))=f(x)⟹f(y)=y(\text{对一切 }y\in A\text{ 恒成立})$ 这说明：值域集合 $A$ 内的所有元素均为函数 $f$ 的不动点。 因此， 函数 $f$ 的构造逻辑完全取决于值域 $A$ 的元素个数。我们按值域 $A$ 的大小进行分类计数：

• 第一类情况：值域 $A$ 包含 3 个元素（即 $|A|=3$） 此时值域 $A=\{1,2,3\}$。 由于值域内所有元素都必须映射回自身， 故有： $f(1)=1,f(2)=2,f(3)=3$ 这种情况对应的函数只有唯一的 1 个（即恒等函数）。 $N_1=1$

• 第二类情况：值域 $A$ 包含 2 个元素（即 $|A|=2$）

• 第一步：从 3 个备选元素中任选 2 个构成值域集合 $A$，方案数有 ${\text{C}}_3^2=3$ 种。 不妨设选出的值域为 $A=\{1,2\}$，则根据不动点刚性制约，必须满足 $f(1)=1,f(2)=2$。

• 第二步：此时剩下的那 1 个元素（即数字 3）不是值域元素。为了保证函数的值域刚好是 $\{1,2\}$， 元素 3 的映像 $f(3)$ 必须且只能从值域集合 $\{1,2\}$ 中任选 1 个进行映射。 所以元素 3 有 2 种映射选择。 根据分步乘法原理，此类的函数个数为： $N_2={\text{C}}_3^2\times 2=3\times 2=6\text{ 个}$

• 第三类情况：值域 $A$ 包含 1 个元素（即 $|A|=1$）

• 从 3 个备选元素中任选 1 个构成值域集合 $A$，方案数有 ${\text{C}}_3^1=3$ 种。 不妨设选出的值域为 $A=\{1\}$，则必有 $f(1)=1$。
• 此时剩下的两个非值域元素 2 和 3， 其映像 $f(2)$ 和 $f(3)$ 别无选择，为了保证全局值域只有 $\{1\}$， 它们必须全部被迫映射到唯一的数字 1 上（即 $f(2)=1,f(3)=1$）。 这类函数本质上就是常数函数， 其个数为： $N_3={\text{C}}_3^1\times 1=3\text{ 个}$

根据分类加法计数原理， 满足核心迭代方程的所有不同函数的总个数为： $N=N_1+N_2+N_3=1+6+3=10\text{ 个}$

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：有限集映射代数方程的性质转化、基于值域划分的分类讨论思想、组合数分步计数。
• 核心方法：值域不动点分类法。
• 避坑指南：
• 第二类情况（值域大小为 2）是最易漏算的重灾区。不仅要通过 ${\text{C}}_3^2$ 选出哪两个是不动点，还要清醒认识到剩下的那个非值域元素有 2 种挑选项。漏乘 2 会导致算出错误答案 C（8个）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题考查了代数拓扑及近世代数中极为著名的**幂等变换（Idempotent Transformation）**计数模型。方程 $f\circ f=f$ 定义的函数称为幂等函数。 结论推广: 推广至包含 $n$ 个元素的有限集合，其上满足 $f(f(x))=f(x)$ 的全域幂等函数总个数的通用数学计算通式为： ${\sum }_{k=1}^n{\text{C}}_n^k\cdot k^{n-k}$。 在本题中代入 $n=3$ 检验： ${\text{C}}_3^1\cdot 1^{3-1}+{\text{C}}_3^2\cdot 2^{3-2}+{\text{C}}_3^3\cdot 3^{3-3}=3\times 1+3\times 2+1\times 1=3+6+1=10$ 高观点下的推广通式与本题解析结果完美交汇。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2008-辽宁文-10 单-受限排列分步计数
• 2010-四川卷文-09 单-排列容斥计数