2006-浙江卷理-09 单-异面直线所成角与夹角余弦公式

本题导读

本题考查球面几何中两点间球面距离的计算。核心在于利用三条两两垂直的半径建立空间直角坐标系，求出大圆弧中点 $E,F$ 的三维坐标，利用向量夹角公式求出弦心角 $\angle EOF$，最终利用弧长公式求解球面距离。

📌【题干】

Question

（2006年浙江卷(理)） 如图， $O$ 是半径为 1 的球心，点 $A,B,C$ 在球面上， $OA,OB,OC$ 两两垂直， $E,F$ 分别是大圆弧 $\widehat{AB}$ 与 $\widehat{AC}$ 的中点，则点 $E,F$ 在该球面上的球面距离是() ()

A. $\frac{\pi }{4}$　　　　　　　B. $\frac{\pi }{3}$　　　　　　　C. $\frac{\pi }{2}$　　　　　　　D. $\frac{\sqrt{2}\pi }{4}$

🔍【思路分析】

破题导航

建立空间直角坐标系：因为 $OA,OB,OC$ 两两垂直且球半径为 1， 以 $O$ 为坐标原点， 射线 $OB,OC,OA$ 分别为 $x,y,z$ 轴正方向建立空间直角坐标系。由此可直接写出 $A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0)$ 的坐标。 求解中点 $E,F$ 的坐标：由于 $E$ 是大圆弧 $\widehat{AB}$ 的中点，在空间直角坐标系中，圆弧中点对应于空间扇形 $OAB$ 的对角角平分线在球面上的交点。利用向量加法标准化或中点投影求出 $E,F$ 的精确直角坐标。 计算弦心角 $\angle EOF$：利用向量夹角余弦公式 $\cos \angle EOF=\frac{\overrightarrow{OE}\cdot \overrightarrow{OF}}{|\overrightarrow{OE}|\cdot |\overrightarrow{OF}|}$ 计算出余弦值，从而得到角度值 $\alpha$。 求球面距离：球面距离即为大圆弧长 $s=R\cdot \alpha$。代入半径 $R=1$ 即可求得结果。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

解：因为球的半径 $R=1$，且球心发出的三条半径 $OA,OB,OC$ 两两垂直。 以球心 $O$ 为坐标原点， 射线 $OB$ 为 $x$ 轴正方向， 射线 $OC$ 为 $y$ 轴正方向， 射线 $OA$ 为 $z$ 轴正方向，建立空间直角坐标系 $O-xyz$。 根据题意可以直接确定点 $A,B,C$ 的空间直角坐标： $A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0)$

• 求解点 $E$ 的坐标： 因为 $E$ 是大圆弧 $\widehat{AB}$ 的中点， 且 $△OAB$ 是位于 $xOz$ 平面内的等腰直角三角形。 所以点 $E$ 的方向向量位于 $\angle AOB$ 的角平分线上，其单位坐标为： $\overrightarrow{OE}=\left(\cos 45^{\circ },0,\sin 45^{\circ }\right)=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},0,\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ 即点 $E$ 的坐标为 $\left(\frac{\sqrt{2}}{2},0,\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$。

• 求解点 $F$ 的坐标： 因为 $F$ 是大圆弧 $\widehat{AC}$ 的中点， 且 $△OAC$ 是位于 $yOz$ 平面内的等腰直角三角形。 同理可得点 $F$ 的方向单位向量为： $\overrightarrow{OF}=\left(0,\cos 45^{\circ },\sin 45^{\circ }\right)=\left(0,\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ 即点 $F$ 的坐标为 $\left(0,\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$。

下面计算两向量 $\overrightarrow{OE}$ 与 $\overrightarrow{OF}$ 的夹角（即弦心角 $\theta =\angle EOF$）： 利用空间向量的数量积坐标公式： $\overrightarrow{OE}\cdot \overrightarrow{OF}=\frac{\sqrt{2}}{2}\times 0+0\times \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}=0+0+\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$ 因为 $E,F$ 均在球面上， 模长满足 $|\overrightarrow{OE}|=|\overrightarrow{OF}|=R=1$。 套用夹角公式： $\cos \theta =\frac{\overrightarrow{OE}\cdot \overrightarrow{OF}}{|\overrightarrow{OE}|\cdot |\overrightarrow{OF}|}=\frac{\frac{1}{2}}{1\times 1}=\frac{1}{2}$ 由于 $\theta \in [0,\pi ]$， 解得弦心角大小为： $\theta =\frac{\pi }{3}$

根据球面距离的定义， 球面上两点间的球面距离等于通过这两点的大圆劣弧长： $\text{距离 }s=R\cdot \theta =1\times \frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{3}$

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：球面距离的几何本质（大圆弧长）、空间直角坐标系中圆弧中点坐标的向量化表达、向量点积求夹角。
• 核心方法：空间直角坐标系法、几何降维法。
• 避坑指南：
• 绝对不能把球面距离错算成空间两点间的直线距离（弦长 $EF$）。如果错用两点间距离公式去算弦长 $EF=\sqrt{(\frac{\sqrt{2}}{2}-0{)}^2+(0-\frac{\sqrt{2}}{2}{)}^2+0^2}=1$，容易误入死胡同。球面距离看的是大圆对应的圆心角。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题源自立体几何中关于球的性质、球面距离的高频考查大题模型，属于空间想象能力要求较高的经典题。 结论推广: 在球面几何中， 设三条两两垂直的半径端点组成标准八分象限。若 $E,F$ 分别是两个相邻大圆弧的中点， 则它们之间的弦心角余弦值恒为固定常数 $\frac{1}{2}$，其球面距离在半径为 $R$ 时恒等于 $\frac{\pi }{3}R$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 21.01 空间向量及其运算
• 16.06 到角公式与夹角公式

类题演练 (Links)

• 2008-安徽文-16 填-球面距离
• 2008-辽宁文-14 填-球面距离与球心距