2006-浙江卷理-07 单-基本不等式

本题导读

本题考查逻辑用语中的充分必要条件判定。核心在于利用基本不等式以及反例构造法，分别验证条件到结论、结论到条件的因果推导方向是否成立。

📌【题干】

Question

（2006年浙江卷(理)） “$a>b>0$” 是 “$ab<\frac{a^2+b^2}{2}$” 的()

A. 充分而不必要条件　　　　　　　　　B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

验证充分性（条件 $⟹$ 结论）：由 $a>b>0$，可得 $a\ne b$。根据基本不等式，当两个正数不相等时， 恒有 $ab<\frac{a^2+b^2}{2}$ 成立。 验证必要性（结论 $⟹$ 条件）：由 $ab<\frac{a^2+b^2}{2}$ 变形为 $(a-b{)}^2>0⟹a\ne b$。这并不能强制约束 $a,b$ 必须为正数，且无法限制 $a>b$ 的大小顺序。可以通过构造负数或相反顺序的反例进行判定。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

解：首先检验充分性（由 “$a>b>0$” 能否推导出 “$ab<\frac{a^2+b^2}{2}$”）： 因为 $a>b>0$， 所以 $a$ 与 $b$ 是一对互不相等的正实数（ $a\ne b$）。 对于任意不相等的实数， 恒有 $(a-b{)}^2>0$ 成立。 将其展开可得： $a^2-2ab+b^2>0⟹a^2+b^2>2ab⟹ab<\frac{a^2+b^2}{2}$ 因此，由条件可以顺利推导出结论，充分性成立。

其次检验必要性（由 “$ab<\frac{a^2+b^2}{2}$” 能否推导出 “$a>b>0$”）： 我们尝试通过构造特值（反例）来进行反证。 令 $a=-2,b=-1$。 代入结论等式中： $\text{左边 }ab=(-2)\times (-1)=2$ $\text{右边 }\frac{a^2+b^2}{2}=\frac{(-2{)}^2+(-1{)}^2}{2}=\frac{4+1}{2}=2.5$ 因为 $2<2.5$， 结论等式依然成立。 但是此时 $a=-2,b=-1$ 显然不满足 “$a>b>0$” 的条件。 因此，由结论推不出条件，必要性不成立。

综上所述，“$a>b>0$” 是 “$ab<\frac{a^2+b^2}{2}$” 的充分而不必要条件。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：充分必要条件的方向流判定、严格基本不等式的取等条件。
• 核心方法：特值反例法。
• 避坑指南：
• 结论 $ab<\frac{a^2+b^2}{2}$ 的本质是 $(a-b{)}^2>0$，即只要 $a\ne b$，无论正负，该不等式都恒成立。因此，必要性极易通过负数或 $a<b$ 的反例直接攻破。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题源自高中数学必修五基本不等式的变式应用，结合常用逻辑用语进行复合考查。 结论推广: 条件 $p$ 对应的数集若为 $A$，结论 $q$ 对应的数集若为 $B$。由本题可知 $AB$，故 $p$ 是 $q$ 的充分而不必要条件。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2007-北京卷理-07 单-不等式综合大小比较
• 2007-江苏卷-09 单-比值最值与均值不等式