2006-浙江卷理-06 单-辅助角公式

本题导读

本题考查三角函数值域的求解。先用降幂公式将二次混合式化为同角的线性式，再用辅助角公式合并，利用正弦函数的有界性求值域。

📌【题干】

Question

（2006年浙江卷(理)） 函数 $y=\frac{1}{2}\sin 2x+{\sin }^{2}x,x\in \mathbf{R}$ 的值域是()

A. $\left[-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right]$　　　　　　　　　　　B. $\left[-\frac{3}{2},\frac{1}{2}\right]$

C. $\left[-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\right]$　　　　　　D. $\left[-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}\right]$

🔍【思路分析】

破题导航

降幂化同角：函数中包含 $\sin 2x$ 和 ${\sin }^{2}x$。用余弦二倍角降幂公式 ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$ 将平方项化为二倍角，从而把角统一为 $2x$。 辅助角公式合并：代入化简得到 $y=\frac{1}{2}\sin 2x-\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{1}{2}$。提取前两项的系数，用辅助角公式合并为标准正弦型函数。 利用有界性求值域：因为 $x\in \mathbf{R}$，合成后的正弦部分范围为 $[-1,1]$，再乘以系数并加上常数项得出 $y$ 的范围。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

解：对于函数 $y=\frac{1}{2}\sin 2x+{\sin }^{2}x$， 利用二倍角降幂公式，将平方项 ${\sin }^{2}x$ 进行降次变形： ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos 2x$

将此变形代入原函数解析式中，将角统一为 $2x$： $y=\frac{1}{2}\sin 2x-\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{1}{2}$

对前两项提取系数 $\frac{1}{2}$，用辅助角公式合并： $y=\frac{1}{2}(\sin 2x-\cos 2x)+\frac{1}{2}$ $y=\frac{1}{2}\times \sqrt{1^2+(-1{)}^2}\sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)+\frac{1}{2}$ $y=\frac{\sqrt{2}}{2}\sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)+\frac{1}{2}$

因为 $x\in \mathbf{R}$，所以 $\left(2x-\frac{\pi }{4}\right)$ 取遍整个实数集。 由正弦函数的有界性： $-1\le \sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)\le 1$

在不等式两边同时乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$： $-\frac{\sqrt{2}}{2}\le \frac{\sqrt{2}}{2}\sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)\le \frac{\sqrt{2}}{2}$

最后各项加上 $\frac{1}{2}$，得 $y$ 的范围： $-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\le y\le \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}$

写成闭区间形式，对应的值域为 $\left[-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\right]$。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：三角降幂公式（ ${\sin }^2\theta =\frac{1-\cos 2\theta }{2}$）、辅助角公式（ $A\sin \omega x+B\cos \omega x=\sqrt{A^2+B^2}\sin (\omega x+\varphi )$）、正弦函数的有界性。
• 核心方法：降幂化同角法。
• 避坑指南：
• 降幂展开时不要丢掉分母 2。变形为 $\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos 2x$ 时，注意余弦前系数 $-\frac{1}{2}$ 的符号，否则辅助角化简会出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题综合考查三角恒等变换与三角函数性质。 结论推广: 对于形如 $y=a\sin 2x+b{\cos }^{2}x$ 的值域问题，可通过降幂转化为标准正弦型函数，其振幅为 $R=\sqrt{a^2+{\left(\frac{b}{2}\right)}^2}$，常数项为 $\frac{b}{2}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2007-大纲Ⅰ文-10 单-二倍角降幂与单调区间
• 2007-大纲卷I理-12 单-三角函数单调增区间