2006-浙江卷理-04 单-三角形面积计算

本题导读

本题考查二元一次不等式组表示的平面区域面积。在坐标系中画出不等式组围成的封闭区域，求顶点坐标，再用三角形面积公式计算。

📌【题干】

Question

（2006年浙江卷(理)） 在平面直角坐标系中，不等式组 $\{\begin{array}{l}x+y-2\ge 0\\ x-y+2\ge 0\\ x\le 2\end{array}$，表示的平面区域的面积是()

A. $4\sqrt{2}$　　　　　　　B. 4　　　　　　　C. 2$\sqrt{2}$　　　　　　　D. 2

🔍【思路分析】

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绘制边界直线：在直角坐标系中作出三条边界直线： $l_1:x+y-2=0$、 $l_2:x-y+2=0$、 $l_3:x=2$。 确定封闭区域：依据不等式的符号判断半平面方位，确定三条直线围成的公共可行域为一个三角形。 求顶点：两两联立直线方程，求出三角形的三个顶点坐标。 计算面积：选取合适的一条边作为底（如平行于坐标轴的边 $x=2$ 上的线段），结合对应的高，用三角形面积公式 $S=\frac{1}{2}\times \text{底}\times \text{高}$ 计算。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

解：首先求解三条边界直线两两相交产生的顶点坐标：

• 联立直线 $x+y-2=0$ 与 $x-y+2=0$， 两式相加得 $2x=0⟹x=0$，代入得 $y=2$。交点记为 $A(0,2)$。

• 联立直线 $x+y-2=0$ 与 $x=2$， 代入得 $2+y-2=0⟹y=0$。交点记为 $B(2,0)$。

• 联立直线 $x-y+2=0$ 与 $x=2$， 代入得 $2-y+2=0⟹y=4$。交点记为 $C(2,4)$。

由不等式组的符号约束可知，该可行域是以 $A(0,2),B(2,0),C(2,4)$ 为顶点的封闭三角形区域。

选择平行于 $y$ 轴的线段 $BC$ 作为底边： $x_B=2,x_C=2⟹BC\text{ 是一条垂直线段}$ 其底边长度为两端点纵坐标之差的绝对值： $\text{底}=|y_C-y_B|=|4-0|=4$

此时， 三角形对应底边 $BC$ 的高 $h$ 即为顶点 $A$ 到直线 $x=2$ 的水平距离： $\text{高 }h=|x_B-x_A|=|2-0|=2$

由三角形面积公式： $S_{△ABC}=\frac{1}{2}\times \text{底}\times \text{高}=\frac{1}{2}\times 4\times 2=4$

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：平面区域的作图、平行于坐标轴线段长度的计算、三角形面积公式。
• 核心方法：数形结合法。
• 避坑指南：
• 作图判定半平面时要注意。如 $x-y+2\ge 0⟹y\le x+2$，对应直线下方，看错符号会导致区域判断错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题源于必修“二元一次不等式组与简单线性规划”中的可行域问题。 结论推广: 对任何包含一条垂直边界直线 $x=k$ 的三角形可行域，设其余两顶点分别为 $(k,y_1)$ 和 $(k,y_2)$，第三顶点横坐标为 $x_0$，其面积可写为： $S=\frac{1}{2}|y_1-y_2|\cdot |k-x_0|$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 16.03 两条直线的位置关系判定
• 11.04 三角形面积公式
• 03.06 简单的线性规划

类题演练 (Links)

• 2008-浙江文-10 单-线性规划面积
• 2009-安徽卷文-03 单-线性规划区域面积