2006-浙江文-20 解-二次方程实根证明

本题导读

本题考查二次函数的性质。核心在于条件消元配判别式。

📌【题干】

Question

（2006年浙江卷(文)） 设 $f(x)=3a{x}^2+2bx+c$，若 $a+b+c=0$，$f(0)f(1)>0$，求证：

(1) 方程 $f(x)=0$ 有实根；

(2) $-2<\frac{b}{a}<-1$；

(3) 设 $x_1$，$x_2$ 是方程 $f(x)=0$ 的两个实根，则 $\frac{\sqrt{3}}{3}⩽|x_1-x_2|<\frac{2}{3}$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $a+b+c=0$ 得 $c=-a-b$；$f(0)=c=-a-b$，$f(1)=3a+2b+c=2a+b$。
2. $f(0)f(1)>0$ 即 $(-a-b)(2a+b)>0$，也即 $(a+b)(2a+b)<0$。 (1) 若 $a=0$ 则左边 $=b^2⩾0$ 矛盾，故 $a\ne 0$。令 $r=\frac{b}{a}$，$\Delta =4a^2(r^2+3r+3)$。 配 $r^2+3r+3={\left(r+\frac{3}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}>0$，故 $\Delta >0$，有实根。 (2) $(a+b)(2a+b)<0$ 同除 $a^2>0$：$(1+r)(2+r)<0$，得 $-2<r<-1$。 (3) $|x_1-x_2{|}^2=\frac{\Delta }{(3a{)}^2}=\frac{4}{9}(r^2+3r+3)$。 由 $-2<r<-1$：$r^2+3r+3⩾\frac{3}{4}$ 给下界；$(r+1)(r+2)<0\Rightarrow r^2+3r+3<1$ 给上界。 故 $\frac{1}{3}⩽|x_1-x_2{|}^2<\frac{4}{9}$。

✅【答案】

Success

证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

由 $a+b+c=0$，得 $c=-a-b$，且 $f(0)=c=-a-b$，$f(1)=3a+2b+c=2a+b$。 由 $f(0)f(1)>0$，得 $(-a-b)(2a+b)>0$，即 $(a+b)(2a+b)<0$。

(1) 若 $a=0$，则上式左边为 $b^2⩾0$，不可能小于 $0$，所以 $a\ne 0$。 令 $r=\frac{b}{a}$。方程 $f(x)=0$ 的判别式为 $\Delta =(2b{)}^2-4\cdot 3a\cdot c=4(b^2+3a(a+b))=4a^2(r^2+3r+3)$。 又 $r^2+3r+3={\left(r+\frac{3}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}>0$，所以 $\Delta >0$，方程有两个实根，因而有实根。

(2) 因为 $a\ne 0$，将 $(a+b)(2a+b)<0$ 两边同除以正数 $a^2$，得 $\left(1+\frac{b}{a}\right)\left(2+\frac{b}{a}\right)<0$。 因此 $-2<\frac{b}{a}<-1$。

(3) 仍令 $r=\frac{b}{a}$。由根与判别式的关系， $|x_1-x_2{|}^2=\frac{\Delta }{(3a{)}^2}=\frac{4}{9}(r^2+3r+3)$。 由 $-2<r<-1$，有 $r^2+3r+3={\left(r+\frac{3}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}⩾\frac{3}{4}$， 从而 $|x_1-x_2{|}^2⩾\frac{1}{3}$，即 $|x_1-x_2|⩾\frac{\sqrt{3}}{3}$。 又因为 $(r+1)(r+2)<0$，所以 $r^2+3r+3<1$， 从而 $|x_1-x_2{|}^2<\frac{4}{9}$，即 $|x_1-x_2|<\frac{2}{3}$。 综上，$\frac{\sqrt{3}}{3}⩽|x_1-x_2|<\frac{2}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二次方程实根证明

核心方法：条件消元配判别式

避坑指南：$c=-a-b$，$f(0)f(1)>0\Rightarrow (a+b)(2a+b)<0$；令 $r=\frac{b}{a}$，$\Delta =4a^2(r^2+3r+3)>0$ 恒正；$|x_1-x_2{|}^2=\frac{4}{9}(r^2+3r+3)$ 用不等式夹逼；$a=0$ 时矛盾是隐含前提

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自二次方程根的存在性与范围估计，代数推理证明题

结论推广: $f(0)f(1)>0$ 结合 $a+b+c=0$ 强制方程有两实根且根在特定范围，可推广为二次函数符号分析模型

方法推广: 引入 $r=\frac{b}{a}$ 把判别式与根差统一为 $r$ 的函数，再夹逼

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.03 专题-恒成立问题

类题演练 (Links)

• 2009-广东卷文-21 解-二次函数零点
• 2011-福建卷文-06 单-二次方程判别式