2006-浙江文-15 解-等差数列与等比条件

本题导读

本题考查等差数列的前n项和。核心在于等比中项列方程定公差。

📌【题干】

Question

（2006年浙江卷(文)） 若 $S_n$ 是公差不为 $0$ 的等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，且 $S_1$，$S_2$，$S_4$ 成等比数列。

(1) 求数列 $S_1$，$S_2$，$S_4$ 的公比；

(2) 若 $S_2=4$，求 $\{a_n\}$ 的通项公式。

🔍【思路分析】

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(1)

1. 设首项 $a_1$ 公差 $d$，$S_1=a_1$，$S_2=2a_1+d$，$S_4=4a_1+6d$。
2. 成等比即 $S_2^2=S_1{S}_4$。
3. 展开整理得 $d(d-2a_1)=0$，由 $d\ne 0$ 得 $d=2a_1$。
4. 公比 $q=\frac{S_2}{S_1}=4$。 (2)
5. $S_2=4a_1=4$，得 $a_1=1$，$d=2$。
6. $a_n=1+2(n-1)=2n-1$。

✅【答案】

Success

(1) $q=4$

(2) $a_n=2n-1$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设等差数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1$，公差为 $d$。 由等差数列前 $n$ 项和公式，得 $S_1=a_1$，$S_2=2a_1+d$，$S_4=4a_1+6d$。 因为 $S_1$，$S_2$，$S_4$ 成等比数列，所以 $S_2^2=S_1{S}_4$， 即 $(2a_1+d{)}^2=a_1(4a_1+6d)$。 整理得 $d(d-2a_1)=0$。由题设 $d\ne 0$，所以 $d=2a_1$， 从而 $S_1=a_1$，$S_2=4a_1$，$S_4=16a_1$。 又因为 $d\ne 0$，所以 $a_1\ne 0$，数列 $S_1$，$S_2$，$S_4$ 的公比为 $4$。

(2) 若 $S_2=4$，则 $4a_1=4$，得 $a_1=1$，且 $d=2$。 因此 $a_n=a_1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列与等比条件

核心方法：等比中项列方程定公差

避坑指南：$S_2^2=S_1{S}_4$ 展开得 $d(d-2a_1)=0$，$d\ne 0$ 故 $d=2a_1$，公比 $\frac{S_2}{S_1}=4$；$a_1\ne 0$ 别忽略

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自等差前 $n$ 项和与等比中项的综合，数列基本量运算

结论推广: $S_1,S_2,S_4$ 成等比列 $S_2^2=S_1{S}_4$，推广到 $S_m,S_n,S_k$ 成等比类问题

方法推广: 前 $n$ 项和公式代对下标：$S_4=4a_1+6d$ 别写错系数

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2010-浙江卷文-19 解-等差数列前n项和
• 2009-安徽卷文-19 解-等差等比数列