2006-浙江文-13 填-双曲线离心率定参

本题导读

本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的离心率。

📌【题干】

Question

（2006年浙江卷(文)） 双曲线 $\frac{x^2}{m}-y^2=1$ 上的点到左焦点的距离与到左准线的距离的比是 $3$，则 $m$ 等于 $\underline{}$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 标准形式 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，$a^2=m$，$b^2=1$。
2. $c^2=a^2+b^2=m+1$，离心率 $e=\frac{c}{a}$。
3. 由第二定义，到焦点与准线距离之比 $=e=3$。
4. $\frac{m+1}{m}=9$，解得 $m=\frac{1}{8}$。

✅【答案】

Success

$\frac{1}{8}$

✍【详细解析】

Abstract

将双曲线写成标准形式 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，则 $a^2=m$，$b^2=1$，焦半距满足 $c^2=a^2+b^2=m+1$。 双曲线的离心率为 $e=\frac{c}{a}$，而点到左焦点的距离与到左准线的距离之比等于 $e$，所以 $e=3$。 因而 $\frac{m+1}{m}=9$，解得 $m=\frac{1}{8}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线离心率定参

核心方法：第二定义转离心率

避坑指南：到焦点距离比准线距离 $=e=3$，$\frac{c}{a}=3$ 即 $\frac{m+1}{m}=9$，$m=\frac{1}{8}$；$a^2=m$ 而不是 $m^2$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自双曲线第二定义，离心率与焦准距的综合

结论推广: 到焦点与准线距离之比即离心率，推广到椭圆第二定义

方法推广: 第二定义中”距离比”直接等于 $e$，列式后解 $a^2$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2008-安徽文-14 填-双曲线离心率
• 2009-安徽卷文-06 单-双曲线离心率