2006-浙江文-10 单-绝对值函数最小值

本题导读

本题考查绝对值不等式，以及函数的最小值。

📌【题干】

Question

（2006年浙江卷(文)） 对 $a$，$b\in \mathbf{R}$，记 $\max \{a,b\}=\{\begin{array}{ll}a,& a⩾b,\\ b,& a<b,\end{array}$ 函数 $f(x)=\max \{|x+1|,|x-2|\}$（$x\in \mathbf{R}$）的最小值是 ()

A. $0$　　　　　　　B. $\frac{1}{2}$　　　　　　　C. $\frac{3}{2}$　　　　　　　D. $3$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 对任意 $x$：$\max \{|x+1|,|x-2|\}⩾\frac{|x+1|+|x-2|}{2}$。
2. 由三角不等式 $|x+1|+|x-2|⩾|(x+1)-(x-2)|=3$。
3. 故 $f(x)⩾\frac{3}{2}$。
4. 当 $x=\frac{1}{2}$ 时 $|x+1|=|x-2|=\frac{3}{2}$，下界可取，故最小值为 $\frac{3}{2}$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

对任意实数 $x$，由三角不等式得 $|x+1|+|x-2|⩾3$。 因此 $\max \{|x+1|,|x-2|\}⩾\frac{|x+1|+|x-2|}{2}⩾\frac{3}{2}$。 当 $x=\frac{1}{2}$ 时，$|x+1|=|x-2|=\frac{3}{2}$，可以取得上述下界。 所以最小值为 $\frac{3}{2}$，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：绝对值函数最小值

核心方法：三角不等式放缩定界

避坑指南：$\max \{|x+1|,|x-2|\}⩾\frac{|x+1|+|x-2|}{2}⩾\frac{3}{2}$，$x=\frac{1}{2}$ 取等；中点处两距离相等取得最小

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自新定义函数 $\max$ 与绝对值三角不等式的综合

结论推广: $\max \{|x-a|,|x-b|\}$ 最小值 $=\frac{|a-b|}{2}$，在 $\frac{a+b}{2}$ 取得，可推广为一般结论

方法推广: 三角不等式放缩后要验证取等点，两段相等时取最小

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式

类题演练 (Links)

• 2014-安徽卷文-09 单-绝对值最值
• 2015-浙江卷文-14 填-绝对值最值