2006-浙江文-08 单-正三棱柱棱长求距离

本题导读

本题考查空间向量，以及正三棱柱。

📌【题干】

Question

（2006年浙江卷(文)） 如图，正三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 的各棱长都为 $2$，$E$，$F$ 分别是 $AB$，$A_1{C}_1$ 的中点，则 $EF$ 的长是 ()

A. $2$　　　　　　　B. $\sqrt{3}$　　　　　　　C. $\sqrt{5}$　　　　　　　D. $\sqrt{7}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 各棱长为 $2$，建系：$A(0,0,0)$，$B(2,0,0)$，$C(1,\sqrt{3},0)$，$A_1(0,0,2)$，$C_1(1,\sqrt{3},2)$。
2. $E$ 为 $AB$ 中点：$E(1,0,0)$；$F$ 为 $A_1{C}_1$ 中点：$F\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},2\right)$。
3. $|EF{|}^2={\left(1-\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(0-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2+(0-2{)}^2=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}+4=5$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

建立直角坐标系，令 $A=(0,0,0)$，$B=(2,0,0)$，$C=(1,\sqrt{3},0)$，并令 $A_1=(0,0,2)$，$C_1=(1,\sqrt{3},2)$。 则 $E=(1,0,0)$，$F=\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},2\right)$， 从而 $|EF{|}^2={\left(-\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2+2^2=5$。 因此 $|EF|=\sqrt{5}$，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正三棱柱棱长求距离

核心方法：建系或解三角形求距离

避坑指南：棱长 $2$，$E$ 为 $AB$ 中点、$F$ 为 $A_1{C}_1$ 中点，建系得 $|EF{|}^2=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}+4=5$；中点坐标别代错

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自空间向量或解三角形求线段长，正三棱柱中等分点问题

结论推广: 建系求中点连线长推广到各种柱体中的距离计算

方法推广: 各棱长相等时建系坐标全是简单数，优先建系

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2010-福建卷文-03 单-三视图正三棱柱侧面积
• 2011-辽宁卷文-08 单-正三棱柱左视图面积