2006-江西卷理-22 解-数学归纳法

本题导读

一道数列与不等式综合的压轴题。第一问是标准的分式线性递推：两边取倒数、同乘 $n$ 后构造辅助数列，再减不动点化成等比，通项自然浮出；第二问把连乘积拆成 $n!$ 与一个纯数字因子 $P_n$，问题变成证 $P_n<2$，用数学归纳法把结论加强为 $P_n<2-3^{-n}$ 才能顺利过渡。

📌【题干】

Question

（2006年江西卷(理)） 已知数列 $\{a_n\}$ 满足： $a_1=\frac{3}{2}$，且 $a_n=\frac{3n{a}_{n-1}}{2a_{n-1}+n-1}$ $(n\ge 2,n\in {\mathbb{N}}^{\ast })$。

(1) 求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2) 证明：对一切正整数 $n$，不等式 $a_1\cdot a_2\cdots \cdot a_n<2\cdot n!$ 恒成立。

🔍【思路分析】

破题导航

第一问：递推式的分子、分母都含 $a_{n-1}$，是典型的分式线性递推。两边取倒数得 $\frac{1}{a_n}=\frac{2}{3n}+\frac{n-1}{3n}\cdot \frac{1}{a_{n-1}}$，两边再同乘 $n$，$b_n=\frac{n}{a_n}$ 就出现了：$b_n=\frac{1}{3}{b}_{n-1}+\frac{2}{3}$。它的系数之和 $\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=1$，不动点恰是 $1$，于是 $b_n-1=\frac{1}{3}\left(b_{n-1}-1\right)$ 是等比数列，通项一步到位。 第二问：把 $a_k=\frac{3^{k}k}{3^k-1}$ 代入连乘积，与 $k$ 有关的因子凑成 $n!$，剩下纯数字因子 $P_n=\prod _{k=1}^n\frac{3^k}{3^k-1}$，于是只需证 $P_n<2$。$P_n$ 有干净的递推关系 $P_{n+1}=P_n\cdot \frac{3^{n+1}}{3^{n+1}-1}$，直接归纳「$P_n<2$」推不动下一步（$P_{n+1}<2$ 与「严格小于 2」之间差一层），必须加强为 $P_n<2-\frac{1}{3^n}$ 才能闭合。

✅【答案】

Success

（1）$a_n=\frac{3^{n}n}{3^n-1}$（即 $a_n=\frac{n}{1-3^{-n}}$）。

（2）对一切正整数 $n$，$a_1{a}_2\cdots a_n<2\cdot n!$ 恒成立，证明见详细解析。

✍【详细解析】

Abstract

（1）由 $a_1=\frac{3}{2}>0$ 及递推式可知，对一切 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ 都有 $a_n>0$。 把 $a_n=\frac{3n{a}_{n-1}}{2a_{n-1}+n-1}$ 两边取倒数： $\frac{1}{a_n}=\frac{2a_{n-1}+n-1}{3n{a}_{n-1}}=\frac{2}{3n}+\frac{n-1}{3n}\cdot \frac{1}{a_{n-1}}$ 两边同乘 $n$： $\frac{n}{a_n}=\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\cdot \frac{n-1}{a_{n-1}}$ 令 $b_n=\frac{n}{a_n}$，则上式化为 $b_n=\frac{1}{3}{b}_{n-1}+\frac{2}{3}(n\ge 2)$ 两边同减不动点 $1$（由 $x=\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}$ 解得 $x=1$）： $b_n-1=\frac{1}{3}\left(b_{n-1}-1\right)$ 又 $b_1=\frac{1}{a_1}=\frac{2}{3}$，故 $b_1-1=-\frac{1}{3}\ne 0$，所以 $\{b_n-1\}$ 是首项为 $-\frac{1}{3}$、公比为 $\frac{1}{3}$ 的等比数列： $b_n-1=-\frac{1}{3}\times {\left(\frac{1}{3}\right)}^{n-1}=-\frac{1}{3^n}$ 于是 $b_n=1-\frac{1}{3^n}=\frac{3^n-1}{3^n}⟹a_n=\frac{n}{b_n}=\frac{3^{n}n}{3^n-1}$ 即 $a_n=\frac{n}{1-3^{-n}}$。 回代检验：$n=1$ 时 $a_1=\frac{3}{2}$；$n=2$ 时 $a_2=\frac{9\times 2}{8}=\frac{9}{4}$，而由递推式直接算 $a_2=\frac{3\times 2\times \frac{3}{2}}{2\times \frac{3}{2}+1}=\frac{9}{4}$，一致。

（2）由（1）得 $a_1{a}_2\cdots a_n={\prod }_{k=1}^n\frac{3^{k}k}{3^k-1}=n!{\prod }_{k=1}^n\frac{3^k}{3^k-1}$ 记 $P_n={\prod }_{k=1}^n\frac{3^k}{3^k-1}$ 则原不等式 $a_1{a}_2\cdots a_n<2n!$ 等价于 $P_n<2$ 下面用数学归纳法证明一个更强的结论： $P_n<2-\frac{1}{3^n}(n\in {\mathbb{N}}^{\ast })$ ① 当 $n=1$ 时，$P_1=\frac{3}{2}$，而 $2-\frac{1}{3}=\frac{5}{3}$，有 $\frac{3}{2}<\frac{5}{3}$，结论成立。 ② 假设 $n=k$（$k\ge 1$）时结论成立，即 $P_k<2-\frac{1}{3^k}$。因为 $P_{k+1}=P_k\cdot \frac{3^{k+1}}{3^{k+1}-1}=P_k\left(1+\frac{1}{3^{k+1}-1}\right)$ 所以 $P_{k+1}<\left(2-\frac{1}{3^k}\right)\left(1+\frac{1}{3^{k+1}-1}\right)$ 令 $A=3^{k+1}-1>0$，则 $3^k=\frac{A+1}{3}$，即 $\frac{1}{3^k}=\frac{3}{A+1}$，代入右端： $\left(2-\frac{3}{A+1}\right)\left(1+\frac{1}{A}\right)=2+\frac{2}{A}-\frac{3}{A+1}-\frac{3}{A(A+1)}$ $=2+\frac{2(A+1)-3A-3}{A(A+1)}=2+\frac{2A^2+A-1}{A(A+1)}=2+\frac{(2A-1)(A+1)}{A(A+1)}=2-\frac{1}{A}$ 即 $P_{k+1}<2-\frac{1}{3^{k+1}-1}$ 又因为 $3^{k+1}-1<3^{k+1}$，所以 $\frac{1}{3^{k+1}-1}>\frac{1}{3^{k+1}}$，从而 $P_{k+1}<2-\frac{1}{3^{k+1}-1}<2-\frac{1}{3^{k+1}}$ 即 $n=k+1$ 时结论也成立。 由①②可知，对一切正整数 $n$ 都有 $P_n<2-\frac{1}{3^n}<2$。于是 $a_1{a}_2\cdots a_n=n!P_n<n!\cdot 2=2n!$ 即对一切正整数 $n$，不等式 $a_1{a}_2\cdots a_n<2\cdot n!$ 恒成立。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：分式线性递推求通项、连乘积不等式的归纳证明。
• 核心方法：取倒数＋构造辅助数列 $b_n=\frac{n}{a_n}$，再减不动点化等比；第二问先把 $n!$ 整体摘出，只对纯数字因子 $P_n$ 归纳。
• 避坑指南：
• 取倒数后两边同乘 $n$ 时，$\frac{n-1}{3n}\cdot \frac{1}{a_{n-1}}$ 乘 $n$ 只得 $\frac{1}{3}\cdot \frac{n-1}{a_{n-1}}$，这个 $\frac{1}{3}$ 千万不能漏。漏掉它，$b_n$ 就从「公比 $\frac{1}{3}$」变成「公差 $2$」，一路算下去会得出常数数列 $a_n\equiv \frac{3}{2}$，而 $a_2=\frac{9}{4}$ 立刻打脸。
• $b_n=\frac{1}{3}{b}_{n-1}+\frac{2}{3}$ 既不是等差也不是等比，必须减去不动点 $1$ 才能构造等比；直接写成 $b_n={\left(\frac{1}{3}\right)}^{n-1}{b}_1$ 是错的。
• 第二问不要一上来就把每项放大成 $\frac{3}{2}$——那样只得到 ${\left(\frac{3}{2}\right)}^n$，随 $n$ 增大而无界，根本没法和常数 2 比较。关键是先把 $n!$ 完整摘出来，剩下的因子才是有界的。
• 归纳要证加强命题 $P_n<2-3^{-n}$。若只设 $P_n<2$，由 $P_{n+1}=P_n\cdot \frac{3^{n+1}}{3^{n+1}-1}<2$ 得到的是「$<2$」，与要证的「$<2$」之间没有推进，归纳失败。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 2006 年江西卷理科压轴题。递推式属于分式线性递推的变形，因分母含 $n-1$ 而与 $a_{n-1}$ 的变系数耦合，通项带出 $3^n$ 因子；第二问把连乘积拆成 $n!$ 与 $\prod \frac{3^k}{3^k-1}$ 两部分，是当年少见的「递推＋积不等式」双层结构。 结论推广: ①通项可写成 $a_n=\frac{n}{1-3^{-n}}$，它恒大于 $n$ 且以指数速度趋于 $n$——这正是第二问要证的乘积能压住 $2n!$ 的根源。 方法推广: ②$P_n=\prod _{k=1}^n\frac{3^k}{3^k-1}$ 单调递增，其极限约为 $1.786$，本题的加强界 $P_n<2-3^{-n}$ 说明它以指数速度逼近极限；③凡遇 $a_1{a}_2\cdots a_n$ 型不等式，起手式都是先把 $n!$（或 $a^n$）这类「可整体估计的因子」摘出来，只对剩余的有界因子做归纳或放缩。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略
• 03.01 不等式解法体系
• 26.02 数学归纳法

类题演练 (Links)

• 2007-大纲卷I理-22 解-数学归纳法
• 2020-北京卷-21 解-数学归纳法