2006-江西卷理-16 填-三角函数的值域

本题导读

本题考查动圆与动直线的相对位置关系。核心在于通过点到直线的距离公式建立代数式，并结合全称量词（对任意）与存在量词（必存在）的逻辑关系，判定四个复杂几何命题的真伪。

📌【题干】

Question

（2006年江西卷(理)） 已知圆 $M:(x+\cos \theta {)}^2+(y-\sin \theta {)}^2=1$，直线 $l:y=kx$，下面四个命题： ① 对于任意实数 $k$ 和 $\theta$，直线 $l$ 和圆 $M$ 相切； ② 对于任意实数 $k$ 和 $\theta$，直线 $l$ 和圆 $M$ 有公共点； ③ 对于任意实数 $\theta$，必存在实数 $k$，使得直线 $l$ 和圆 $M$ 相切； ④ 对于任意实数 $k$，必存在实数 $\theta$，使得直线 $l$ 和圆 $M$ 相切。 其中真命题的代号是$\underline{}$. (写出所有真命题的代号)

🔍【思路分析】

破题导航

提取圆与直线的特征： 圆 $M$ 的圆心坐标为 $O_M(-\cos \theta ,\sin \theta )$，半径 $R=1$。 直线 $l$ 的方程化为一般式： $kx-y=0$。注意到直线 $l$ 恒过坐标原点 $O(0,0)$。 分析圆心的几何轨迹： 由于 ${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$，圆心 $O_M$ 的坐标满足 $x^2+y^2=1$。即圆心是在以原点为圆心、1为半径的单位圆上运动。 计算距离表达式判断位置关系： 根据点到直线距离公式，计算圆心 $O_M$ 到直线 $l$ 的距离 $d$： $d=\frac{|k(-\cos \theta )-\sin \theta |}{\sqrt{k^2+1}}=\frac{|k\cos \theta +\sin \theta |}{\sqrt{k^2+1}}$ 结合逻辑量词辨析四个命题： 利用辅助角公式将分子化简为 $\sqrt{k^2+1}|\sin (\theta +\varphi )|$，从而得到距离的动态范围 $d\in [0,1]$。通过 $d$ 与 $R=1$ 的大小比较判定各命题的真伪。

✅【答案】

Success

$\text{(2)}\text{(4)}$

✍【详细解析】

Abstract

解：1. 建立圆心到直线距离的代数模型 由圆 $M$ 的方程可知，圆心为 $O_M(-\cos \theta ,\sin \theta )$，半径 $R=1$。 直线 $l$ 的方程为 $kx-y=0$。 根据点到直线的距离公式，圆心 $O_M$ 到直线 $l$ 的距离 $d$ 为： $d=\frac{|k(-\cos \theta )-\sin \theta |}{\sqrt{k^2+1}}=\frac{|k\cos \theta +\sin \theta |}{\sqrt{k^2+1}}$

利用三角函数的辅助角公式对分子进行合并化简： $k\cos \theta +\sin \theta =\sqrt{k^2+1}\sin (\theta +\varphi )(\text{其中 }\tan \varphi =k)$ 代入距离公式得： $d=\frac{\sqrt{k^2+1}|\sin (\theta +\varphi )|}{\sqrt{k^2+1}}=|\sin (\theta +\varphi )|$

因为对任意实数 $\theta$ 和 $k$， $|\sin (\theta +\varphi )|$ 的取值范围都是 $[0,1]$，所以恒有： $0\le d\le 1$

2. 逐一审视判定四个命题：

• 对于 ①： 直线与圆相切的充要条件是 $d=R=1$。 由于 $d=|\sin (\theta +\varphi )|$ 可以取到 $[0,1)$ 之间的值（例如当 $\theta +\varphi =0$ 时 $d=0$ 此时直线过圆心），因此并不是“任意”实数 $k$ 和 $\theta$ 都能使 $d=1$。故 ① 为假命题。

• 对于 ②： 直线与圆有公共点（相切或相交）的充要条件是 $d\le R$。 因为已证对任意实数 $k$ 和 $\theta$，恒有 $d=|\sin (\theta +\varphi )|\le 1=R$。 所以直线与圆必然恒有公共点。故 ② 为真命题。 (另证几何视角：直线 $l$ 恒过原点 $O(0,0)$，而圆心到原点的距离恒为 $\sqrt{(-\cos \theta {)}^2+(\sin \theta {)}^2}=1=R$，说明原点 $O$ 始终在圆 $M$ 的圆周上。过圆上一点的直线必然与该圆有公共点)

• 对于 ③： 命题要求对任意给定的 $\theta$，都能找到对应的 $k$ 使得 $d=1⟹|\sin (\theta +\varphi )|=1$。 若给定 $\theta =\frac{\pi }{2}$，则圆心为 $(0,1)$。直线 $y=kx$ 要与该圆相切， 计算 $d=\frac{|-1|}{\sqrt{k^2+1}}=\frac{1}{\sqrt{k^2+1}}=1⟹k^2+1=1⟹k=0$。 但如果给定 $\theta =0$，圆心为 $(-1,0)$，此圆在 $x$ 轴上且过原点。过原点的直线 $y=kx$ 与它相切时只能是垂直于 $x$ 轴的直线（即 $y$ 轴，此时斜率 $k$ 不存在）。 因为要求是“存在实数 $k$”，而当 $\theta =0$ 时符合条件的直线斜率不存在，无法找到实数 $k$。故 ③ 为假命题。

• 对于 ④： 命题要求对任意给定的实数 $k$，都能找到对应的 $\theta$ 使得 $d=|\sin (\theta +\varphi )|=1$。 因为对任意确定的 $k$， 辅助角 $\varphi$ 是个确定值。我们总可以调节参数 $\theta$，使得 $\theta +\varphi =\frac{\pi }{2}+k_0\pi$ ($k_0\in \mathbb{Z}$)。 此时必然能使 $|\sin (\theta +\varphi )|=1⟹d=1$ 成立。故 ④ 为真命题。

综上所述，真命题的代号是 ②④。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：直线与圆的位置关系判别式（$d$ 与 $R$ 的大小比较）、全称/存在量词的逻辑真伪判定。
• 核心方法：数形结合法（原点在圆周上模型）、代数函数值域控制法。
• 避坑指南：
• 极易在判断 ③ 时出错。一定要注意到当圆心在 $x$ 轴上时，过原点与圆相切的直线是 $y$ 轴，而 $y$ 轴的斜率是不存在的，因此不能说“存在实数 $k$”。
• 牢记 ② 选项的几何直观简化技巧：发现原点 $O$ 在圆上，则过原点的任意直线必然与圆有交点。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题综合了三角函数代数合一（辅助角公式）、解析几何（点线距离）与常用逻辑用语三大模块，属于构思非常严密的综合素质考查题。 结论推广: 设动圆圆心在半径为 $R$ 的圆周上运动，动圆半径也为 $R$，则过原点的任意实斜率直线必然恒与该动圆相交或相切。且对任意确定的斜率，都存在两个对应的圆心位置使得直线与圆严格相切。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 16.04 距离公式汇总
• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2007-山东卷理-15 填-直线圆位置关系
• 2008-福建文-14 填-直线与圆相离