本题导读
本题是一道构思独特、极具思辨性的导数与图象压轴选择题。核心考查时间段内“平均温度”函数的变上限积分本质或其导数的几何意义，通过分析原函数与平均值函数的大小关系来判定图象的升降与拐点。
📌【题干】
Question
（2006年江西卷(理)） 某地一年内的气温 （单位：°C）与时间 （月份）之间的关系如图所示，已知该年的平均气温为 10 °C。令 表示时间段 的平均气温， 与 之间的函数关系用下列图象表示，则正确的是()
🔍【思路分析】
破题导航
理解 的数学本质：根据平均值的定义，时间段 的平均气温 是气温 在该段上的算术平均值，可表示为定积分形式： 利用特殊值（端点值）筛选：已知全年的平均气温为 10 °C，即当 时，全年的平均气温 °C。观察四个选项中 时对应的纵坐标是否为 10。 利用导数分析单调性与极值：对 求导，建立 与 的正负对应关系。当瞬时气温 时，平均气温 升高；反之则降低。结合 图象的特点进行单调性走势定性。
✅【答案】
Success
A
✍【详细解析】
Abstract
解：1. 特殊点定值分析： 题目明确指出“该年的平均气温为 10 °C”，即全年的平均气温 。 观察四个选项图象的末端（ 处）：
- (D) 选项在 时，，与已知矛盾，排除；
- (B)、(C) 选项在 时图象终点也均未恰好落在虚线 上，排除；
- (A) 选项在 处的纵坐标恰好为 ，符合 。
2. 导数微元单调性定性分析： 由平均值定义，。 对 求导得： 由于 ，故 的正负由 决定：当 时 上升，反之下降。
3. 结合 图象综合判定：
- 在前 6 个月，气温 整体偏低（远低于 10 °C），因此前 6 个月的平均气温 ，图象在 处应位于虚线下方；
- 在年中某段时期， 大幅高于此前均值，使平均温被拉高，故图象中途必有一段 （位于虚线上方）；
- 临近 12 月时气温回落，但全年平均须等于 10，故末端恰好回到 。 观察各图，只有 (A) 同时满足：起点后低于 10、 处低于 10、中途略高于 10、且 处精确落在 10 上。
故选 A
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：变上限积分的求导法则、平均值函数的导数构造、函数图象的宏观微观比对。
- 核心方法：微元分析法（利用 与 的相对高低决定 的升降）、排除法。
- 避坑指南：
- 很多考生容易将平均气温 的走势误认为与原气温 完全一致，从而错选 C。必须要明白平均值具有“滞后性”和“平滑性”，它的升降取决于“新注入的数据（当前气温 ）是拉高了均值还是拉低了均值”。
📖【试题探源与推广】
Tip
试题探源: 本题是高等数学中“定积分的几何与实际应用（连续函数的平均值）”在高考中的高观点渗透，重点考查逻辑思维而非死记硬背公式。 结论推广: 设 ，则 的极值点必然是 与 的交点。即：平均值曲线与原函数曲线的交点，必然是平均值曲线的横向拐点（极值点）。
🔗【关联脉络】
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