本题导读
本题是一道构思精巧的空间立体几何创新压轴选择题。核心在于利用内切球球心到各平面的距离（半径 ）均相等这一特性，将多面体的体积转化为以表面积为底、内切球半径为高的多组锥体和，从而实现体积等量关系向表面积不等关系的精准跨越。
📌【题干】
Question
（2006年江西卷(理)） 如图，在四面体 中，截面 经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心 ，且与 、 分别截于 、. 如果截面将四面体分为体积相等的两部分，设四棱锥 与三棱锥 的表面积分别为 、，则必有() ()
A. B. C. D. 、 的大小不能确定
🔍【思路分析】
破题导航
审清等体积条件：截面 将四面体 分为两个体积相等的部分，即： 利用内切球半径建构体积表示：内切球球心 满足到四面体四个原始面（面 、面 、面 、面 ）的距离均等于内切球半径 。 分解组合体：将四棱锥 和三棱锥 以球心 为公共顶点进行放射状的锥体割补分解。 统一代数表达式：各分解小锥体的高在面向外侧原始面时均为 ，面向内部共有截面 时的高为 （球心 到平面 的距离）。通过体积相等列出表面积组成的方程进行严密化简。
✅【答案】
Success
C
✍【详细解析】
Abstract
解：设四面体 的内切球半径为 。则球心 到四面体的四个面 、 、 、 的距离均为 。 同时，设球心 到截面 的距离为 。因为球心 位于截面 之上，所以 。
我们将截面分成的两部分以 为顶点进行网格化体积分解：
1. 展开三棱锥 的体积： 该三棱锥由以下三个面围成：面 （属于原面 的一部分）、面 （属于原面 的一部分）、面 （属于原面 的一部分）以及内部的共有共享面 。 以 为顶点将其分割为四个小三棱锥，每个小锥体以 的一个面为底： 由于 在面 上，最后一项 。 各前置小锥体的高均为 ，故：
2. 展开四棱锥 的体积： 同理，将四棱锥 以 为顶点拆分为多组以其外围表面为底的小锥体： 其中 。各有效小锥体的高均为 ，故：
3. 联立等体积条件消元： 题目已知两部分体积相等，即 。将①式与②式联立，约去常数系数 ，得到表面积切片的等量关系：
4. 转换构造目标表面积 与 ： 根据表面积的定义，两组合体的表面积分别包含其外侧面和内部共享的截面 ：
- 三棱锥 的表面积 为：
- 四棱锥 的表面积 为：
对比③式可知，这两个表面积表达式中，除去公共项 之外，其余项的和由于③式两端完全相等，因此必有：
故选 C
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：多面体的内切球性质、空间体积的“等体积分割法”（等积变换）。
- 核心方法：球心多路分解法。
- 避坑指南：
- 极易受到直观视觉误导而误选 B 或 D。直观上看四棱锥底面多、看起来更“胖”，很多考生会直觉认为 。
- 必须通过严密的体积转化公式进行代数等价推导，不能忽略“截面经过内切球球心 ”这一能够使内部拆分小锥体高度归零（）的黄金隐藏条件。
📖【试题探源与推广】
Tip
试题探源: 本题是由二维平面几何中“经过三角形内切圆圆心的直线将三角形分成面积相等的两部分，则其周长必相等”的经典结论推广演变至三维空间而来的高观点新定义立体几何题。 结论推广: 若多面体具有内切球，任意一个经过该内切球球心的截面若能将多面体分成体积相等的两部分，则该截面割开后的两个子多面体的表面积必定完全相等。
🔗【关联脉络】
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