2006-江西卷理-08 单-赋值法求二项式系数和

本题导读

本题考查二项式定理的经典展开形式。利用赋值法分别代入相反数，通过构造方程组两式相减，提取出所有奇次幂项的和。

📌【题干】

Question

（2006年江西卷(理)） 在 $(x-\sqrt{2}{)}^{2006}$ 的二项展开式中，含 $x$ 的奇次幂的项之和为 $S$，当 $x=\sqrt{2}$ 时，$S$ 等于()

A. $2^{3008}$　　　　B. $-2^{3008}$　　　　C. $2^{3009}$　　　　D. $-2^{3009}$

🔍【思路分析】

破题导航

设展开式为 $f(x)=(x-\sqrt{2}{)}^{2006}=a_{2006}{x}^{2006}+a_{2005}{x}^{2005}+\cdots +a_{1}x+a_0$。 奇次幂项之和 $S(x)=a_{2005}{x}^{2005}+a_{2003}{x}^{2003}+\cdots +a_{1}x$。 利用赋值法，计算 $f(x)$ 与 $f(-x)$ 的表达式，两式相减可得 $f(x)-f(-x)=2S(x)$。 将 $x=\sqrt{2}$ 代入方程化简，计算出 $S(\sqrt{2})$ 的精确值。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

解：设 $f(x)=(x-\sqrt{2}{)}^{2006}$。其展开式可表示为： $f(x)=\text{（偶次幂项之和）}+\text{（奇次幂项之和）}$ 即： $(x-\sqrt{2}{)}^{2006}=g(x)+S(x)\text{(1)}$ 其中 $g(x)$ 为包含 $x$ 的偶次幂（及常数项）的项之和，$S(x)$ 为包含 $x$ 的奇次幂的项之和。

用 $-x$ 代替 $x$ 代入上式，由于偶次幂不改变符号，奇次幂项符号取反： $(-x-\sqrt{2}{)}^{2006}=g(x)-S(x)\text{(2)}$

由 ① - ② 得： $(x-\sqrt{2}{)}^{2006}-(-x-\sqrt{2}{)}^{2006}=2S(x)$ 从而： $S(x)=\frac{(x-\sqrt{2}{)}^{2006}-(x+\sqrt{2}{)}^{2006}}{2}$

题目要求当 $x=\sqrt{2}$ 时的 $S$ 值，将 $x=\sqrt{2}$ 代入上式： $S=\frac{(\sqrt{2}-\sqrt{2}{)}^{2006}-(\sqrt{2}+\sqrt{2}{)}^{2006}}{2}=\frac{0-(2\sqrt{2}{)}^{2006}}{2}=-\frac{(2^{\frac{3}{2}}{)}^{2006}}{2}$

根据指数幂的运算法则进行化简： $S=-\frac{2^{\frac{3}{2}\times 2006}}{2}=-\frac{2^{3009}}{2}=-2^{3008}$

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：二项式展开式的多项式表示、奇偶次幂项系数分离的赋值法。
• 核心方法：双向赋值做差法（代入 $x$ 与 $-x$）。
• 避坑指南：
• 提取奇次幂项之和时，必须使用 $f(x)-f(-x)$，注意多项式减法产生的负号。
• 注意 $(2\sqrt{2}{)}^{2006}=(2^{1.5}{)}^{2006}=2^{3009}$，最后除以底数 2 时指数减 1 变为 $3008$，切忌在指数运算时出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题源自教材中二项式定理的性质应用题，通过将常规的“求奇数项系数和”升级为带有变量的“奇次幂函数和”，增加了对代数本质的系统考查。 结论推广: 对于任意多项式 $f(x)$，其含 $x$ 奇次幂的项之和为 $S(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}$，含偶次幂的项之和为 $G(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2007-江西文-05 单-二项式系数和的赋值法
• 2007-江西卷理-04 单-二项式系数各项系数
• 2008-安徽文-07 单-二项式系数奇偶