2006-江西卷理-07 单-等差数列的前 n 项和公式

本题导读

本题结合平面向量的三点共线定理与等差数列的求和公式。核心在于利用三点共线时基底系数和为1的性质，确定等差数列首项与末项的关系。

📌【题干】

Question

（2006年江西卷(理)） 已知等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，若 $\overrightarrow{OB}=a_1\overrightarrow{OA}+a_{200}\overrightarrow{OC}$，且 $A、B、C$ 三点共线（该直线不过点 $O$），则 $S_{200}$ 等于()

A. 100　　　　　　B. 101　　　　　　C. 200　　　　　　D. 201

🔍【思路分析】

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根据平面向量共线定理的推论：若 $A、B、C$ 三点共线（且直线不过点 $O$），且 $\overrightarrow{OB}=\lambda \overrightarrow{OA}+\mu \overrightarrow{OC}$，则必有 $\lambda +\mu =1$。 由此确定等差数列的项满足： $a_1+a_{200}=1$。 利用等差数列前 $n$ 项和的倒序相加性质（高斯求和公式）： $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$，代入求解 $S_{200}$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

解：因为 $A、B、C$ 三点共线，且直线不过点 $O$， 根据平面向量共线定理的充要条件，由 $\overrightarrow{OB}=a_1\overrightarrow{OA}+a_{200}\overrightarrow{OC}$ 可得： $a_1+a_{200}=1$

由于数列 $\{a_n\}$ 是等差数列，根据等差数列的前 $n$ 项和公式： $S_{200}=\frac{200(a_1+a_{200})}{2}$

将 $a_1+a_{200}=1$ 代入上式计算： $S_{200}=\frac{200\times 1}{2}=100$

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：平面向量三点共线的系数性质（等和线模型）、等差数列求和公式。
• 核心方法：性质直接代换法。
• 避坑指南：熟记向量共线推论中“系数之和为 1”的前提是三个向量的起点相同（均为 $O$），且终点共线。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是向量线性运算的几何背景与数列特征性质跨章节融合的经典题目，考查对抽象符号的转化能力。 结论推广: 若 $\overrightarrow{OB}=a_m\overrightarrow{OA}+a_n\overrightarrow{OC}$ 且 $A,B,C$ 共线，则 $a_m+a_n=1$。对应的等差数列前 $m+n$ 项和为 $S_{m+n}=\frac{m+n}{2}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算
• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2007-江西卷理-10 单-等差数列定义等差中项
• 2007-山东卷理-10 单-等差数列求公式
• 2008-北京卷理-06 单-等差数列