2006-江西卷理-06 单-函数在闭区间上的最值

本题导读

本题考查一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题。采用参变分离法将问题转化为求已知函数在指定区间上的最小值。

📌【题干】

Question

（2006年江西卷(理)） 若不等式 $x^2+ax+1\ge 0$ 对一切 $x\in \left(0,\frac{1}{2}\right]$ 成立，则 $a$ 的最小值为()

A. 0　　　　　　　B. -2　　　　　　　C. $-\frac{5}{2}$　　　　　　　D. -3

🔍【思路分析】

破题导航

观察已知区间 $x\in \left(0,\frac{1}{2}\right]$，因为 $x>0$，可以进行参变分离。 变形不等式得 $ax\ge -x^2-1⟹a\ge -x-\frac{1}{x}$。 问题转化为： $a\ge {\left(-x-\frac{1}{x}\right)}_{\text{max}}$。求出函数 $g(x)=-x-\frac{1}{x}$ 在给定区间上的最大值，即为 $a$ 的最小值。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

解：因为 $x\in \left(0,\frac{1}{2}\right]$，显然 $x>0$。 原不等式 $x^2+ax+1\ge 0$ 可变形为： $ax\ge -x^2-1$ 两边同除以正数 $x$，不等号方向不变： $a\ge -x-\frac{1}{x}$

设 $g(x)=-x-\frac{1}{x}=-\left(x+\frac{1}{x}\right)$。 要使 $a\ge g(x)$ 对一切 $x\in \left(0,\frac{1}{2}\right]$ 恒成立，则： $a\ge [g(x){]}_{\text{max}}$

根据对勾函数的基本性质，当 $x\in (0,1]$ 时，函数 $y=x+\frac{1}{x}$ 单调递减。 因此，当 $x\in \left(0,\frac{1}{2}\right]$ 时，$y=x+\frac{1}{x}$ 也是单调递减的。 当 $x=\frac{1}{2}$ 时，$y=x+\frac{1}{x}$ 取得在区间内的最小值： $y_{\text{min}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}$

由于 $g(x)=-y$，所以当 $y$ 取得最小值时，$g(x)$ 取得最大值： $[g(x){]}_{\text{max}}=-\frac{5}{2}$

因此， $a\ge -\frac{5}{2}$。 $a$ 的最小值为 $-\frac{5}{2}$。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：不等式恒成立、参变分离法、对勾函数的单调性。
• 核心方法：参变分离求最值法。
• 避坑指南：计算 $-x-\frac{1}{x}$ 的最值时，注意负号对单调性和最值方向的影响，不要将最大值和最小值混淆。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是含参一元二次不等式限定区间恒成立的典型试题，通常可采用二次函数图象轴分类讨论法或参变分离法。 结论推广: 对于不等式 $x^2+ax+b\ge 0$ 在 $x\in (0,m]$ 上恒成立问题，若 $b>0$，均可通过参变分离转化为 $a\ge -x-\frac{b}{x}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 20.18 恒成立问题——参变分离法
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2008-新课标Ⅰ文-07 单-不等式恒成立
• 2009-天津文-10 单-导数构造恒成立
• 2012-新课标Ⅰ文-11 单-指对恒成立