2006-江西卷理-05 单-函数极小值点的判定

本题导读

本题考查利用导数符号判定函数的单调性与极值。通过不等式条件确定函数在特定点两侧的单调性，进而判定函数值的大小关系。

📌【题干】

Question

（2006年江西卷(理)） 对于 $\mathbb{R}$ 上可导的任意函数 $f(x)$，若满足 $(x-1)f^{\prime }(x)\ge 0$，则必有()

A. $f(0)+f(2)<2f(1)$　　　　　　　　B. $f(0)+f(2)\le 2f(1)$

C. $f(0)+f(2)\ge 2f(1)$　　　　　　　　　D. $f(0)+f(2)>2f(1)$

🔍【思路分析】

破题导航

分析不等式 $(x-1)f^{\prime }(x)\ge 0$ 的几何意义：

• 当 $x>1$ 时，$x-1>0⟹f^{\prime }(x)\ge 0$，函数单调递增；
• 当 $x<1$ 时，$x-1<0⟹f^{\prime }(x)\le 0$，函数单调递减。 由单调性可知，$x=1$ 是函数 $f(x)$ 的极小值点，也是全局最小值点。 比较 $f(0)$ 与 $f(1)$ 以及 $f(2)$ 与 $f(1)$ 的大小关系，两式相加即得答案。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

解：根据已知条件 $(x-1)f^{\prime }(x)\ge 0$：

1. 当 $x>1$ 时，$x-1>0$，则必有 $f^{\prime }(x)\ge 0$，此时函数 $f(x)$ 在 $[1,+\infty )$ 上单调递增。 由于 $2>1$，所以 $f(2)\ge f(1)$。
2. 当 $x<1$ 时，$x-1<0$，则必有 $f^{\prime }(x)\le 0$，此时函数 $f(x)$ 在 $(-\infty ,1]$ 上单调递减。 由于 $0<1$，所以 $f(0)\ge f(1)$。

将上述两个不等式相加： $f(0)+f(2)\ge f(1)+f(1)⟹f(0)+f(2)\ge 2f(1)$

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：导数判定单调性、函数极值与最值的性质。
• 核心方法：分类讨论法、不等式缩放法。
• 避坑指南：容易误选 D。当 $f(x)$ 为常数函数（如 $f(x)=0$）时，$(x-1)f^{\prime }(x)=0\ge 0$ 满足条件，此时 $f(0)+f(2)=2f(1)$，等号可以取到，因此不能选严格大于。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是导数应用章节中关于“利用导数研究函数单调性”的基本性质题改编，将单调性条件隐藏在因式乘积不等式中。 结论推广: 若 $(x-x_0)f^{\prime }(x)\ge 0$ 恒成立，则 $x_0$ 为 $f(x)$ 的全局最小值点。对于任意满足 $x_1<x_0<x_2$ 的自变量，恒有 $f(x_1)+f(x_2)\ge 2f(x_0)$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2007-浙江卷理-08 单-函数极值导数零点关系
• 2008-广东文-09 单-导数极值点定参
• 2012-陕西卷文-09 单-导数极值点