2006-江西卷理-03 单-分式不等式的同解变形

本题导读

本题考查含参分式不等式的等价转化，核心在于利用已知参数的正负性对不等式两端取倒数。

📌【题干】

Question

（2006年江西卷(理)） 若 $a>0,b>0$，则不等式 $-b<\frac{1}{x}<a$ 等价于()

A. $-\frac{1}{b}<x<0\text{ 或 }0<x<\frac{1}{a}$　　　　　　B. $-\frac{1}{a}<x<\frac{1}{b}$

C. $x<-\frac{1}{a}\text{ 或 }x>\frac{1}{b}$　　　　　　　　　　D. $x<-\frac{1}{b}\text{ 或 }x>\frac{1}{a}$

🔍【思路分析】

破题导航

方法一（代数分类讨论）：由于 $\frac{1}{x}$ 夹在负数 $-b$ 与正数 $a$ 之间，根据 $x$ 的符号分 $x>0$ 和 $x<0$ 两种情况移项化简，最后求并集。 方法二（特殊值排除法）：任取符合 $a>0,b>0$ 的特殊值，代入不等式，再选取特殊的 $x$ 进行排除。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

解：方法一（等价转化法）： 已知 $a>0,b>0$，则 $-b<0<a$。 不等式 $-b<\frac{1}{x}<a$ 中， $\frac{1}{x}\ne 0$，故分两种情况讨论：

1. 当 $x>0$ 时， $\frac{1}{x}>0$。此时 $-b<\frac{1}{x}$ 恒成立。 只需满足 $\frac{1}{x}<a⟹x>\frac{1}{a}$。
2. 当 $x<0$ 时， $\frac{1}{x}<0$。此时 $\frac{1}{x}<a$ 恒成立。 只需满足 $-b<\frac{1}{x}$。两边同乘以负数 $x$ 需改变不等号方向： $-bx>1⟹x<-\frac{1}{b}$

综合上述两部分，不等式的解集为 $x<-\frac{1}{b}\text{ 或 }x>\frac{1}{a}$。

方法二（特殊值排除法）： 取 $a=1,b=1$，则不等式为 $-1<\frac{1}{x}<1$。 取 $x=2$，代入得 $-1<\frac{1}{2}<1$ 成立。说明 $x=2$ 在解集内。

• 代入 (A)： $-\frac{1}{1}<2<0$ 或 $0<2<\frac{1}{1}⟹0<2<1$ 不成立，排除 A；
• 代入 (B)： $-\frac{1}{1}<2<\frac{1}{1}⟹-1<2<1$ 不成立，排除 B；
• 代入 (C)： $2<-1$ 或 $2>1$ 成立。 再取 $x=-2$，代入得 $-1<-\frac{1}{2}<1$ 成立。说明 $x=-2$ 在解集内。
• 代入 (C)： $-2<-1$ 或 $-2>1⟹-2<-1$ 成立；
• 代入 (D)： $-2<-1$ 或 $-2>1$ 成立。 为了区分 C 和 D，重新审视边界： 由上述分析可知，正数边界由 $a$ 决定（即 $x>\frac{1}{a}$），负数边界由 $b$ 决定（即 $x<-\frac{1}{b}$）。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：分式不等式的求解、不等式两边同乘负数变号的法则。
• 核心方法：分类讨论法、特殊值排除法。
• 避坑指南：由于 $a$ 和 $b$ 都是正数，取倒数时正负区间对应不同的参数。不能盲目套用对数或直接两边取倒数导致范围符号错乱。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题考查不等式性质中“倒数性质”的变式应用，侧重基本功的严密思维。 结论推广: 若 $A<0<B$，则 $A<\frac{1}{x}<B⟺x>\frac{1}{B}\text{ 或 }x<\frac{1}{A}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2007-大纲Ⅱ文-05 单-分式不等式
• 2007-福建卷理-07 单-分式不等式
• 2012-重庆卷文-02 单-分式不等式的解集