2006-江西卷理-01 单-集合的交集运算

本题导读

本题考查分式不等式的求解、二次函数值域的确定以及集合交集的运算，侧重考查基础运算的严密性。

📌【题干】

Question

（2006年江西卷(理)） 已知集合 $M=\left\{x|\frac{x}{(x-1{)}^3}\ge 0\right\}$，$N=\{y\mid y=3x^2+1,x\in \mathbb{R}\}$，则 $M\cap N$ 等于()

A. $\varnothing$　　　　B. $\{x\mid x\ge 1\}$　　　　C. $\{x\mid x>1\}$　　　　D. $\{x\mid x\ge 1\text{ 或 }x<0\}$

🔍【思路分析】

破题导航

解分式不等式求出集合 $M$。注意分母不为 0 且奇数次幂不改变不等式的符号方向。 求出二次函数 $y=3x^2+1$ 的值域以确定集合 $N$。 利用数轴法求两集合的交集 $M\cap N$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

解：对于集合 $M$： 分式不等式 $\frac{x}{(x-1{)}^3}\ge 0$ 等价于： $\{\begin{array}{l}x(x-1)\ge 0\\ x-1\ne 0\end{array}$ 解得 $x>1$ 或 $x\le 0$。 所以 $M=\{x\mid x>1\text{ 或 }x\le 0\}$。

对于集合 $N$： 因为 $x\in \mathbb{R}$，所以 $x^2\ge 0⟹3x^2+1\ge 1$，即 $y\ge 1$。 所以 $N=\{y\mid y\ge 1\}$。

求两集合的交集 $M\cap N$： $M\cap N=\{x\mid x>1\text{ 或 }x\le 0\}\cap \{x\mid x\ge 1\}=\{x\mid x>1\}$

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：分式不等式的等价转化、二次函数的最值与值域、集合的交集。
• 核心方法：等价转化法、数轴交集法。
• 避坑指南：解分式不等式时极易忽略分母不为 0 的限制（即 $x\ne 1$），从而误将开区间写成闭区间。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题由教材中“集合的基本运算”与“一元二次不等式”两节的课后综合练习题合并变形而来。 结论推广: 对于分式不等式 $\frac{f(x)}{g(x)}\ge 0$，在求解时必须等价转化为 $f(x)\cdot g(x)\ge 0$ 且 $g(x)\ne 0$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 05.01 函数的概念
• 01.01 集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2007-大纲Ⅰ文-01 单-集合的交集运算
• 2007-广东文-01 单-集合交集与分式不等式
• 2007-广东卷理-01 单-集合交集运算