2006-江西文-22 解-递推数列与整除

本题导读

本题考查数列的递推关系。核心在于取倒数构造倍增数列。

📌【题干】

Question

（2006年江西卷(文)） 已知各项均为正数的数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_1=3$，且 $\frac{2a_{n+1}-a_n}{2a_n-a_{n+1}}=a_n{a}_{n+1}$，$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$。 （1）求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式； （2）设 $S_n=a_1^2+a_2^2+\cdots +a_n^2$，$T_n=\frac{1}{a_1^2}+\frac{1}{a_2^2}+\cdots +\frac{1}{a_n^2}$，求 $S_n+T_n$，并确定最小正整数 $n$，使 $S_n+T_n$ 为整数。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 交叉相乘得 $2a_{n+1}-a_n=a_n{a}_{n+1}(2a_n-a_{n+1})$，各项为正除以 $a_n{a}_{n+1}$ 得 $a_{n+1}-\frac{1}{a_{n+1}}=2\left(a_n-\frac{1}{a_n}\right)$。
2. 令 $b_n=a_n-\frac{1}{a_n}$，则 $b_{n+1}=2b_n$，$b_1=\frac{8}{3}$，故 $b_n=\frac{8}{3}\cdot 2^{n-1}=\frac{2^{n+2}}{3}$。
3. $a_n$ 是 $a_n-\frac{1}{a_n}=\frac{2^{n+2}}{3}$ 的正根，解得 $a_n=\frac{2^{n+1}+\sqrt{2^{2n+2}+9}}{3}$。
4. (2) $b_n^2=a_n^2+\frac{1}{a_n^2}-2$，故 $a_n^2+\frac{1}{a_n^2}=b_n^2+2=\frac{2^{2n+4}}{9}+2$，求和得 $S_n+T_n=2n+\frac{64(4^n-1)}{27}$；整数条件归结为 $4^n\equiv 1(\mathrm{mod}27)$，阶为 $9$。

✅【答案】

Success

(1)$a_n=\frac{2^{n+1}+\sqrt{2^{2n+2}+9}}{3}$

(2)$S_n+T_n=2n+\frac{64(4^n-1)}{27}$，最小正整数 $n=9$

✍【详细解析】

Abstract

（1）由题设分母不为零，将递推关系交叉相乘，得 $2a_{n+1}-a_n=a_n{a}_{n+1}(2a_n-a_{n+1})$。 由于各项均为正数，除以 $a_n{a}_{n+1}$，得 $\frac{2}{a_n}-\frac{1}{a_{n+1}}=2a_n-a_{n+1}$， 即 $a_{n+1}-\frac{1}{a_{n+1}}=2\left(a_n-\frac{1}{a_n}\right)$。 令 $b_n=a_n-\frac{1}{a_n}$，则 $b_{n+1}=2b_n$。又 $b_1=3-\frac{1}{3}=\frac{8}{3}$， 所以 $b_n=\frac{8}{3}\cdot 2^{n-1}=\frac{2^{n+2}}{3}$。 于是 $a_n$ 是方程 $a_n-\frac{1}{a_n}=\frac{2^{n+2}}{3}$ 的正根，即 $a_n^2-\frac{2^{n+2}}{3}{a}_n-1=0$。 解得 $a_n=\frac{\frac{2^{n+2}}{3}+\sqrt{\frac{2^{2n+4}}{9}+4}}{2}=\frac{2^{n+1}+\sqrt{2^{2n+2}+9}}{3}$。

（2）由 $b_n=a_n-a_n^{-1}$，有 $b_n^2=a_n^2+\frac{1}{a_n^2}-2$，因此 $a_n^2+\frac{1}{a_n^2}=b_n^2+2=\frac{2^{2n+4}}{9}+2$。 从而 $S_n+T_n=\sum _{k=1}^n\left(\frac{2^{2k+4}}{9}+2\right)=2n+\frac{16}{9}\sum _{k=1}^n{4}^k$。 利用等比数列求和公式，得 $S_n+T_n=2n+\frac{16}{9}\cdot \frac{4(4^n-1)}{3}=2n+\frac{64(4^n-1)}{27}$。 因为 $\gcd (64,27)=1$，且 $54n$ 总能被 $27$ 整除，所以 $S_n+T_n$ 为整数当且仅当 $4^n\equiv 1(\mathrm{mod}27)$。 计算得 $4^3=64\equiv 10(\mathrm{mod}27)$，从而 $4^9\equiv 10^3\equiv 1(\mathrm{mod}27)$。又 $4\not\equiv 1$，$4^3\not\equiv 1(\mathrm{mod}27)$， 故 $4$ 模 $27$ 的乘法阶为 $9$。所以满足条件的最小正整数为 $n=9$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：递推数列与整除

核心方法：取倒数构造倍增数列

避坑指南：递推取倒数化简得 $a_n-\frac{1}{a_n}=2(a_{n-1}-\frac{1}{a_{n-1}})$，$b_n=\frac{2^{n+2}}{3}$；解二次方程取正根，$S_n+T_n$ 整数归结为 $4^n\equiv 1(\mathrm{mod}27)$，阶为 $9$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自递推数列构造与同余整除，压轴综合题

结论推广: 取倒数构造 $b_n=a_n-\frac{1}{a_n}$ 推广到分式递推

方法推广: 整数条件转同余，求模的乘法阶

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2008-上海卷文-21 解-双周期数列交错求和
• 2008-四川文-21 解-和式递推构造等比