2006-江西文-20 解-三棱锥角与距离

本题导读

本题考查空间向量。核心在于三垂直直接建系。

📌【题干】

Question

（2006年江西卷(文)） 如图，已知三棱锥 $O-ABC$ 的侧棱 $OA$，$OB$，$OC$ 两两垂直，且 $OA=1$，$OB=OC=2$，$E$ 是 $OC$ 的中点。 （1）求 $O$ 点到面 $ABC$ 的距离； （2）求异面直线 $BE$ 与 $AC$ 所成的角； （3）求二面角 $E-AB-C$ 的大小。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立空间直角坐标系：$O=(0,0,0)$，$A=(1,0,0)$，$B=(0,2,0)$，$C=(0,0,2)$，$E=(0,0,1)$。
2. (1) 设平面 $ABC$ 方程 $ux+vy+wz=d$，代入三点取 $d=2$ 得 $2x+y+z=2$，点 $O$ 到面距离 $\frac{|2|}{\sqrt{2^2+1^2+1^2}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$。
3. (2) $\overrightarrow{BE}=(0,-2,1)$、$\overrightarrow{AC}=(-1,0,2)$，夹角余弦 $\frac{2}{5}$，异面角 $\arccos \frac{2}{5}$。
4. (3) 面 $EAB$ 法向量 $(2,1,2)$、面 $ABC$ 法向量 $(4,2,2)$，夹角余弦 $\frac{7\sqrt{6}}{18}$。

✅【答案】

Success

(1)$\frac{\sqrt{6}}{3}$

(2)$\arccos \frac{2}{5}$

(3)$\arccos \frac{7\sqrt{6}}{18}$

✍【详细解析】

Abstract

建立空间直角坐标系，取 $O=(0,0,0)$，$A=(1,0,0)$，$B=(0,2,0)$，$C=(0,0,2)$。 因为 $E$ 是 $OC$ 的中点，所以 $E=(0,0,1)$。

（1）设平面 $ABC$ 的方程为 $ux+vy+wz=d$。将 $A,B,C$ 的坐标代入得 $u=d$，$2v=d$，$2w=d$。 取 $d=2$，得到平面 $ABC$ 的方程 $2x+y+z=2$，所以点 $O$ 到平面 $ABC$ 的距离为 $\frac{|2|}{\sqrt{2^2+1^2+1^2}}=\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$。

（2）直线 $BE$ 和 $AC$ 的方向向量分别取 $\overrightarrow{BE}=(0,-2,1)$，$\overrightarrow{AC}=(-1,0,2)$。 它们的数量积为 $0\times (-1)+(-2)\times 0+1\times 2=2$，长度均为 $\sqrt{5}$。 设两异面直线所成的锐角为 $\alpha$，则 $\cos \alpha =\frac{|\overrightarrow{BE}\cdot \overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{BE}||\overrightarrow{AC}|}=\frac{2}{5}$，故所成的角为 $\alpha =\arccos \frac{2}{5}$。

（3）平面 $EAB$ 内两条相交直线的方向向量取 $\overrightarrow{AB}=(-1,2,0)$，$\overrightarrow{AE}=(-1,0,1)$， 其一个法向量为 ${\mathbf{n}}_1=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AE}=(2,1,2)$。 同理平面 $ABC$ 的一个法向量为 ${\mathbf{n}}_2=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(4,2,2)$。 设二面角 $E-AB-C$ 的大小为 $\beta$，则 $\cos \beta =\frac{|{\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2|}{|{\mathbf{n}}_1||{\mathbf{n}}_2|}=\frac{14}{3\times 2\sqrt{6}}=\frac{7\sqrt{6}}{18}$，所以 $\beta =\arccos \frac{7\sqrt{6}}{18}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三棱锥角与距离

核心方法：三垂直直接建系

避坑指南：$O$ 为原点三棱两两垂直：面 $ABC$ 方程 $2x+y+z=2$，点面距 $\frac{\sqrt{6}}{3}$；异面角 $\arccos \frac{2}{5}$，二面角 $\arccos \frac{7\sqrt{6}}{18}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自三垂直三棱锥的空间角与距离

结论推广: 直接建系求距离角推广到一切三垂直模型

方法推广: 平面方程法求点面距更快

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2008-北京文-16 解-三棱锥垂直与二面角
• 2008-大纲Ⅰ文-18 解-四棱锥垂直二面角