2006-江西文-19 解-解三角形求边

本题导读

本题考查解三角形。核心在于半角转化面积桥。

📌【题干】

Question

（2006年江西卷(文)） 在锐角 $△ABC$ 中，角 $A$，$B$，$C$ 所对的边分别为 $a$，$b$，$c$，已知 $\sin A=\frac{2\sqrt{2}}{3}$。 （1）求 ${\tan }^2\frac{B+C}{2}+{\sin }^2\frac{A}{2}$ 的值； （2）若 $a=2$，$S_{△ABC}=\sqrt{2}$，求 $b$ 的值。

🔍【思路分析】

破题导航

1. $A$ 为锐角，$\cos A=\sqrt{1-{\sin }^{2}A}=\frac{1}{3}$。
2. $B+C=\pi -A$，$\tan \frac{B+C}{2}=\cot \frac{A}{2}$；${\sin }^2\frac{A}{2}=\frac{1-\cos A}{2}=\frac{1}{3}$，${\cot }^2\frac{A}{2}=\frac{1+\cos A}{1-\cos A}=2$。
3. 和 $=2+\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$；由 $S=\frac{1}{2}bc\sin A=\sqrt{2}$ 得 $bc=3$，联立余弦定理得 $b=c=\sqrt{3}$。

✅【答案】

Success

(1)$\frac{7}{3}$

(2)$b=\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）因为 $A$ 为锐角，所以 $\cos A=\sqrt{1-{\sin }^{2}A}=\sqrt{1-\frac{8}{9}}=\frac{1}{3}$。 由 $B+C=\pi -A$，有 $\tan \frac{B+C}{2}=\tan \left(\frac{\pi }{2}-\frac{A}{2}\right)=\cot \frac{A}{2}$。 又 ${\sin }^2\frac{A}{2}=\frac{1-\cos A}{2}=\frac{1-\frac{1}{3}}{2}=\frac{1}{3}$， ${\cot }^2\frac{A}{2}=\frac{1+\cos A}{1-\cos A}=\frac{1+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}=2$。 因此 ${\tan }^2\frac{B+C}{2}+{\sin }^2\frac{A}{2}=2+\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$。

（2）由三角形面积公式 $S_{△ABC}=\frac{1}{2}bc\sin A$，得 $\sqrt{2}=\frac{1}{2}bc\cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}$，所以 $bc=3$。 再由余弦定理 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$，即 $4=b^2+c^2-2\times 3\times \frac{1}{3}=b^2+c^2-2$， 故 $b^2+c^2=6$，从而 $(b-c{)}^2=b^2+c^2-2bc=6-6=0$。 因此 $b=c$，由 $bc=3$ 及边长为正数，得 $b=\sqrt{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：解三角形求边

核心方法：半角转化面积桥

避坑指南：${\tan }^2\frac{B+C}{2}={\cot }^2\frac{A}{2}=\frac{1+\cos A}{1-\cos A}=2$；$bc=3$ 与余弦定理联立得 $(b-c{)}^2=0$，$b=\sqrt{3}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自解三角形与半角恒等变换综合

结论推广: 半角平方关系推广到任意三角形角度转化

方法推广: 面积作桥联立余弦定理得对称方程

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅰ文-17 解-解三角形求边周长
• 2008-大纲Ⅱ文-17 解-解三角形求角面积