2006-江西文-17 解-三次函数极值恒成立

本题导读

本题考查三次函数的极值。核心在于极值点即导数根。

📌【题干】

Question

（2006年江西卷(文)） 已知函数 $f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$ 在 $x=-\frac{2}{3}$ 与 $x=1$ 时都取得极值。 （1）求 $a$，$b$ 的值与函数 $f(x)$ 的单调区间； （2）若对 $x\in [-1,2]$，不等式 $f(x)<c^2$ 恒成立，求 $c$ 的取值范围。

🔍【思路分析】

破题导航

1. $f^{\prime }(x)=3x^2+2ax+b$，其两个零点为 $-\frac{2}{3}$ 与 $1$，故 $f^{\prime }(x)=3\left(x+\frac{2}{3}\right)(x-1)=3x^2-x-2$。
2. 比较系数得 $2a=-1$、$b=-2$，即 $a=-\frac{1}{2}$、$b=-2$。
3. 由导数符号定单调区间；再在 $[-1,2]$ 上比较候选点求最大值，解 $c+2<c^2$。

✅【答案】

Success

(1)$a=-\frac{1}{2}$，$b=-2$；增区间 $\left(-\infty ,-\frac{2}{3}\right)$ 与 $(1,+\infty )$，减区间 $\left(-\frac{2}{3},1\right)$

(2)$c\in (-\infty ,-1)\cup (2,+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

（1）$f^{\prime }(x)=3x^2+2ax+b$，由 $f$ 在 $x=-\frac{2}{3}$ 和 $x=1$ 处取得极值，知 $f^{\prime }(x)$ 的两个根为 $-\frac{2}{3}$ 和 $1$。 因而 $f^{\prime }(x)=3\left(x+\frac{2}{3}\right)(x-1)=3x^2-x-2$，比较系数得 $a=-\frac{1}{2}$，$b=-2$。 当 $x<-\frac{2}{3}$ 或 $x>1$ 时 $f^{\prime }(x)>0$；当 $-\frac{2}{3}<x<1$ 时 $f^{\prime }(x)<0$。 所以 $f(x)$ 的单调递增区间为 $\left(-\infty ,-\frac{2}{3}\right)$ 和 $(1,+\infty )$，单调递减区间为 $\left(-\frac{2}{3},1\right)$。

（2）由单调性，$f(x)$ 在 $[-1,2]$ 上的最大值只能在 $x=-1$、$-\frac{2}{3}$、$1$、$2$ 中取得。 令 $h(x)=x^3-\frac{1}{2}{x}^2-2x$，则 $f(x)=h(x)+c$。逐点计算： $h(-1)=\frac{1}{2}$，$h\left(-\frac{2}{3}\right)=\frac{22}{27}$，$h(1)=-\frac{3}{2}$，$h(2)=2$， 故 $\underset{x\in [-1,2]}{\max }f(x)=f(2)=c+2$。 题设严格不等式对区间内一切 $x$ 成立，当且仅当 $c+2<c^2$，即 $(c-2)(c+1)>0$， 解得 $c\in (-\infty ,-1)\cup (2,+\infty )$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三次函数极值恒成立

核心方法：极值点即导数根

避坑指南：$f^{\prime }=3(x+\frac{2}{3})(x-1)$ 得 $a=-\frac{1}{2},b=-2$；区间最大值 $f(2)=c+2<c^2$ 解 $(c-2)(c+1)>0$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自三次函数极值与不等式恒成立综合

结论推广: 区间最值转参数不等式推广到含参三次函数

方法推广: 先由极值点定参数，再比区间端点

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅱ文-21 解-三次函数极值与最值恒成立
• 2008-北京文-17 解-奇函数定参与三次函数单调