2006-江西文-15 填-三棱柱侧面展开

本题导读

本题考查棱柱的侧面展开图，以及最短路径。

📌【题干】

Question

（2006年江西卷(文)） 如图，已知正三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 的底面边长为 $1$，高为 $8$，一质点自 $A$ 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达 $A_1$ 点的最短路线长为 $\underline{}$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 三棱柱每个侧面都是宽 $1$、高 $8$ 的矩形，绕行一周经过三个侧面。
2. 绕行两周将六个侧面展开成宽 $6$、高 $8$ 的矩形带，起点 $A$ 与终点 $A_1$ 的水平距离为 $6$、竖直距离为 $8$。
3. 曲面最短路径对应展开图直线段：$\sqrt{6^2+8^2}=10$。

✅【答案】

Success

$10$

✍【详细解析】

Abstract

三棱柱的每个侧面都是宽为 $1$、高为 $8$ 的矩形。 沿侧面绕行一周经过三个侧面，绕行两周后将六个侧面展开成宽为 $6$、高为 $8$ 的矩形带； 展开图中起点 $A$ 与终点 $A_1$ 的水平距离为 $6$，竖直距离为 $8$。 曲面上的最短路线对应展开图中的直线段，所以路线长为 $\sqrt{6^2+8^2}=10$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三棱柱侧面展开

核心方法：侧面展开两倍周长

避坑指南：绕行两周：侧面展开宽 $2\times 3=6$、高 $8$，最短 $\sqrt{6^2+8^2}=10$；展开图是长方形不是柱面弧

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自柱体侧面展开最短路径，化曲为直经典题

结论推广: 绕行两周展开倍宽推广到任意圈数与锥体

方法推广: 展开为矩形，勾股定理求对角线

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅰ文-11 单-三棱柱线面角
• 2008-新课标Ⅰ文-14 填-六棱柱外接球