2006-江西文-11 单-双曲线焦圆距离

本题导读

本题考查双曲线的定义，以及圆的方程。

📌【题干】

Question

（2006年江西卷(文)） $P$ 为双曲线 $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ 的右支上一点，$M$，$N$ 分别是圆 $(x+5{)}^2+y^2=4$ 和 $(x-5{)}^2+y^2=1$ 上的点，则 $|PM|-|PN|$ 的最大值为 ()

A. $6$　　　　　　　B. $7$　　　　　　　C. $8$　　　　　　　D. $9$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 双曲线焦点 $F_1=(-5,0)$、$F_2=(5,0)$，恰为两圆圆心；$a=3$，$c=5$。
2. 对给定 $P$，$|PM|$ 最大为 $P{F}_1+2$；$|PN|$ 最小为 $P{F}_2-1$（右支上 $P{F}_2⩾2>1$）。
3. 由定义 $P{F}_1-P{F}_2=2a=6$，故 $|PM|-|PN|⩽(P{F}_1+2)-(P{F}_2-1)=6+3=9$，取等可达。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

双曲线 $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ 的左、右焦点为 $F_1=(-5,0)$、$F_2=(5,0)$，恰为两圆圆心。 对给定的 $P$，由三角不等式，圆 $(x+5{)}^2+y^2=4$ 上的点到 $P$ 的最大距离为 $P{F}_1+2$； 右支顶点为 $(3,0)$，且 $P{F}_2⩾2>1$，故圆 $(x-5{)}^2+y^2=1$ 上的点到 $P$ 的最小距离为 $P{F}_2-1$。 由双曲线定义 $P{F}_1-P{F}_2=2\times 3=6$，所以 $|PM|-|PN|⩽(P{F}_1+2)-(P{F}_2-1)=6+3=9$。 取两圆上分别实现上述最大、最小距离的点时等号成立，故最大值为 $9$，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线焦圆距离

核心方法：焦半径加减圆半径

避坑指南：$|PM|⩽P{F}_1+2$、$|PN|⩾P{F}_2-1$，$|PM|-|PN|⩽(P{F}_1-P{F}_2)+3=6+3=9$；三角不等式取等别漏

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自双曲线定义与圆的最值距离综合

结论推广: 焦半径加减圆半径推广到双圆锥与圆链问题

方法推广: 三角不等式加圆半径，圆在焦点外侧

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

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• 2008-大纲Ⅱ文-11 单-双曲线焦点三角形离心率