2006-江西文-08 单-分层抽样概率

本题导读

本题考查分层抽样，以及古典概型。

📌【题干】

Question

（2006年江西卷(文)） 袋中有 $40$ 个小球，其中红色球 $16$ 个，蓝色球 $12$ 个，白色球 $8$ 个，黄色球 $4$ 个，从中随机抽取 $10$ 个球作成一个样本，则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为 ()

A. $\frac{{\mathrm{C}}_4^1{\mathrm{C}}_8^2{\mathrm{C}}_{12}^3{\mathrm{C}}_{16}^4}{{\mathrm{C}}_{40}^{10}}$　　　　　　　　B. $\frac{{\mathrm{C}}_4^2{\mathrm{C}}_8^1{\mathrm{C}}_{12}^3{\mathrm{C}}_{16}^4}{{\mathrm{C}}_{40}^{10}}$

C. $\frac{{\mathrm{C}}_4^2{\mathrm{C}}_8^3{\mathrm{C}}_{12}^1{\mathrm{C}}_{16}^4}{{\mathrm{C}}_{40}^{10}}$　　　　　　　　D. $\frac{{\mathrm{C}}_4^1{\mathrm{C}}_8^3{\mathrm{C}}_{12}^4{\mathrm{C}}_{16}^2}{{\mathrm{C}}_{40}^{10}}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 各层抽取数按比例：$10\times \frac{16}{40}=4$ 红、$10\times \frac{12}{40}=3$ 蓝、$10\times \frac{8}{40}=2$ 白、$10\times \frac{4}{40}=1$ 黄。
2. 全部等可能样本数 ${\mathrm{C}}_{40}^{10}$，符合分层样本数 ${\mathrm{C}}_{16}^4{\mathrm{C}}_{12}^3{\mathrm{C}}_8^2{\mathrm{C}}_4^1$。
3. 概率 $=\frac{{\mathrm{C}}_{16}^4{\mathrm{C}}_{12}^3{\mathrm{C}}_8^2{\mathrm{C}}_4^1}{{\mathrm{C}}_{40}^{10}}$，即 A（组合数相乘次序可交换）。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

按颜色分层时，各层抽取数应与各层总数成比例： $10\times \frac{16}{40}=4$（红）、$10\times \frac{12}{40}=3$（蓝）、$10\times \frac{8}{40}=2$（白）、$10\times \frac{4}{40}=1$（黄）。 全部等可能样本数为 ${\mathrm{C}}_{40}^{10}$，符合分层抽样的样本数为 ${\mathrm{C}}_{16}^4{\mathrm{C}}_{12}^3{\mathrm{C}}_8^2{\mathrm{C}}_4^1$。 故所求概率为 $\frac{{\mathrm{C}}_{16}^4{\mathrm{C}}_{12}^3{\mathrm{C}}_8^2{\mathrm{C}}_4^1}{{\mathrm{C}}_{40}^{10}}$，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分层抽样概率

核心方法：分层配比再组合计数

避坑指南：各层抽取数 $10\times \frac{16}{40}=4$ 红、$3$ 蓝、$2$ 白、$1$ 黄；概率 $=\frac{{\mathrm{C}}_{16}^4{\mathrm{C}}_{12}^3{\mathrm{C}}_8^2{\mathrm{C}}_4^1}{{\mathrm{C}}_{40}^{10}}$；分母是全组合

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自分层抽样与古典概型综合，统计概率交叉题

结论推广: 分层配比计数推广到任意分层结构

方法推广: 各层抽取数按比例分配，分母全组合

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.02 排列组合 16 种核心解题模型与策略

类题演练 (Links)

• 2008-广东文-19 解-分层抽样与古典概型
• 2008-天津文-11 填-分层抽样计算