2006-江西文-05 单-导数对称性最值

本题导读

本题考查导数的符号，以及函数的单调性。

📌【题干】

Question

（2006年江西卷(文)） 对于 $\mathbf{R}$ 上可导的任意函数 $f(x)$，若满足 $(x-1)f^{\prime }(x)⩾0$，则必有 ()

A. $f(0)+f(2)<2f(1)$　　　　　　　　　　　　B. $f(0)+f(2)⩽2f(1)$

C. $f(0)+f(2)⩾2f(1)$　　　　　　　　　　　　D. $f(0)+f(2)>2f(1)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $x<1$ 时 $x-1<0$，由 $(x-1)f^{\prime }(x)⩾0$ 得 $f^{\prime }(x)⩽0$，$f$ 在 $(-\infty ,1)$ 递减。
2. $x>1$ 时得 $f^{\prime }(x)⩾0$，$f$ 在 $(1,+\infty )$ 递增。
3. 故 $f(0)⩾f(1)$ 且 $f(2)⩾f(1)$，相加得 $f(0)+f(2)⩾2f(1)$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

当 $x<1$ 时，$x-1<0$，由 $(x-1)f^{\prime }(x)⩾0$ 得 $f^{\prime }(x)⩽0$，$f$ 在 $(-\infty ,1)$ 上单调递减； 当 $x>1$ 时，$x-1>0$，得 $f^{\prime }(x)⩾0$，$f$ 在 $(1,+\infty )$ 上单调递增。 所以 $f(0)⩾f(1)$ 且 $f(2)⩾f(1)$，两式相加得 $f(0)+f(2)⩾2f(1)$，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数对称性最值

核心方法：符号定单调找最小

避坑指南：$(x-1)f^{\prime }(x)⩾0$：$x<1$ 递减、$x>1$ 递增，$f(1)$ 最小，$f(0)⩾f(1)$ 且 $f(2)⩾f(1)$，相加即得

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自导数符号与单调性，抽象函数最值

结论推广: $(x-1)f^{\prime }(x)⩾0$ 型推广到 $(x-a)f^{\prime }(x)$ 结构

方法推广: 乘积不等式分区间讨论导数符号

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2008-北京文-14 填-偶函数单调性条件判定
• 2009-安徽卷文-21 解-导数单调与值域